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| Autor |
 Umfanggleiche Dreiecke |
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Alea_Aquarius
Neu 
Dabei seit: 28.01.2020
Mitteilungen: 1
 |  Themenstart: 2020-01-28
|
\quoteon(ursprünglicher Beitrag)
Folgendes Problem:
Es gibt ein beliebiges Dreieck ABC mit der Basis AB.
Nun verschiebt man den Punkt C so, dass der Umfang des Dreiecks gleich bleibt.
Frage:
Gibt es einen gemeinsamen Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden des Winkels bei C
Antwort bitte per PN.
\quoteoff
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viertel
Senior 
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27787
Wohnort: Hessen
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-28
|
Hi Alea_Aquarius
Willkommen auf dem Planeten
Aus welchem Wettbewerb stammt diese Aufgabe?
Gruß vom ¼
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Profil
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-29
|
\showon Wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe (?),
sieht es nicht so aus:
$\pgfmathsetlengthmacro{\v}{-3cm} %
% Dreieck 0
\pgfmathsetmacro{\a}{3} %
\pgfmathsetmacro{\b}{4} %
\pgfmathsetmacro{\c}{4.5} %
\pgfmathsetmacro{\u}{\a+\b+\c} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %
\pgfmathsetmacro{\m}{\b*\c/(\a+\b)} %
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} },
Dreieck/.style={thick},
]
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
% Dreieck 0
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck 0 zeichnen
\coordinate[Punkt={below}{W}] (W) at (\m,0);
\draw[red, shorten <=\v] (W) -- (C);
% Dreieck 1
\pgfmathsetmacro{\x}{\b/\a} %
\pgfmathsetmacro{\xMax}{1-\b/\a} %
\pgfmathsetmacro{\y}{1+(1-\x)*\a/\b} %
\pgfmathsetmacro{\aI}{\x*\a} %
\pgfmathsetmacro{\bI}{\y*\b} %
\pgfmathsetmacro{\AlphaI}{acos((\bI^2+\c^2-\aI^2)/(2*\bI*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\uI}{\aI+\bI+\c} %
\pgfmathsetmacro{\mI}{\bI*\c/(\aI+\bI)} %
\coordinate[Punkt={above}{C_1}] (C1) at (\AlphaI:\bI);
\draw[] (A) -- (B) -- (C1) --cycle; % Dreieck 1 zeichnen
\coordinate[Punkt={below}{W_1}] (W1) at (\mI,0);
\draw[red, shorten <=\v] (W1) -- (C1);
% Dreieck 2
\pgfmathsetmacro{\x}{1.3*\b/\a} %
\pgfmathsetmacro{\xMax}{1-\b/\a} %
\pgfmathsetmacro{\y}{1+(1-\x)*\a/\b} %
\pgfmathsetmacro{\aII}{\x*\a} %
\pgfmathsetmacro{\bII}{\y*\b} %
\pgfmathsetmacro{\AlphaII}{acos((\bII^2+\c^2-\aII^2)/(2*\bII*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\uII}{\aII+\bII+\c} %
\pgfmathsetmacro{\mII}{\bII*\c/(\aII+\bII)} %
\coordinate[Punkt={above}{C_2}] (C2) at (\AlphaII:\bII);
\draw[] (A) -- (B) -- (C2) --cycle; % Dreieck 1 zeichnen
\coordinate[Punkt={below}{W_2}] (W2) at (\mII,0);
\draw[red, shorten <=\v] (W2) -- (C2);
%% Punkte
\foreach \P in {W, W1,W2} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
%% Annotationen - Aufgabe
%\pgfmathsetmacro{\x}{min(\a, \b,\c)} %
%\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\x cm-5mm,0)$)}]
%% Strecken
%\tikzset{YShift/.style={yshift=-1 cm}}
%\foreach[count=\y from 0] \s in {a,b}{%%
%\draw[|-|, yshift=-\y*6mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\s$%= \csname s\s \endcsname{} cm
%};
%}%%
%\end{scope}
%% Winkel
%\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\Alpha}
%\pgfmathsetmacro{\WinkelXShift}{\Winkel > 90 ? -cos(\Winkel) : 0} %
%\draw[shift={($(strecken.south west)+(\WinkelXShift,-12mm)$)}] (\Winkel:1) coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
%\draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.3,
%% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
%"$\alpha$",
%] {angle =R--Q--P};
% Annotationen - Rechnung
\tikzset{PosUnten/.style={below=33mm of dreieck, anchor=north,}}
\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
PosUnten,
%PosLinks,
]{
$\begin{array}{l l}
a = \a \text{ cm} & \\
b = \b \text{ cm} & \\
c = \c \text{ cm} & \\
u = \u \text{ cm} & \\ \hline
%\alpha = \Alpha^\circ & \\
%\beta = \Beta^\circ & \\
%\gamma = \Gamma^\circ & \\ \hline
a_1 = \aI \text{ cm} & \\
b_1 = \bI \text{ cm} & \\
c = \c \text{ cm} & \\
u_1 = \uI \text{ cm} & \\ \hline
% \alpha_1 = \AlphaI^\circ & \\
a_2 = \aII \text{ cm} & \\
b_2 = \bII \text{ cm} & \\
c = \c \text{ cm} & \\
u_2 = \uII \text{ cm} & \\
%\y, \xMax
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax \text{ cm}} \\
\end{array}$
};
\end{tikzpicture}
$
Aber das beweise ich jetzt nicht.
\showoff
PS: Ich finde die Formulierung
\quoteon(2020-01-28 17:35 - Alea_Aquarius im Themenstart)
Folgendes Problem:
Es gibt ein beliebiges Dreieck ABC mit der Basis AB.
Nun verschiebt man den Punkt C so, dass der Umfang des Dreiecks gleich bleibt.
Frage:
Gibt es einen gemeinsamen Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden des Winkels bei C
\quoteoff
unklar; m.E. müsste es heißen:
Gibt es einen gemeinsamen Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden der Winkel bei (den verschobenen Punkten) C?
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
MartinN
Aktiv 
Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 1412
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-29
|
Wenn es einen solchen Punkt gäbe, so müsste es der Mittelpunkt von AB sein, denn offensichtlich liegt der Punkt auf AB (Dreieck mit Flächeninhalt 0) als auch im selben Abstand zwischen A und B (gleichschenkliges Dreieck). Jetzt braucht man nur noch ein drittes Dreieck dessen Winkelhalbierende nicht durch den Mittelpunkt von AB geht XD Ich würde ein rechtwinkliges vorschlagen... deren Winkelhalbierende geht nur selten durch den umkreismittelpunkt...
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2023-09-30 16:09 U <
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