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Universität/Hochschule Rechtwinklige Dreiecke
Hermine2018
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 28.01.2020
Mitteilungen: 1
  Themenstart: 2020-01-28

Aufgabe: Bei dem Dreieck ABC liegt an A ein rechter Winkel. M ist der Mittelpunkt von AB. Zu zeigen: Der Winkel ACM ist größer als die Hälfte von Winkel ACB. Antwort bitte per PN.


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Kezer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1813
  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-28

Was bedeutet für dich in diesem Fall, dass $AB$ die Basis ist? So wie die Aufgabe derzeit dasteht, ist sie falsch. Ist der Thread zu https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=245490 ein Zweitaccount von dir? Die Formulierung der Aufgabenstellungen sind im gleichen Format und jeweils wird das Wort Basis verwendet. Falls ja, wieso hast du zwei Accounts erstellt?


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-31

Der Thread sieht aus wie ein Einmalschnellschuss, um eine Lösung per PM zu erhalten. Es steht auch kein Stern am Titel, so dass man den Thread nicht als Rätsel erkennt. Wie dem auch sei, \showon hier mal eine Lösung. \quoteon(2020-01-28 17:50 - Hermine2018 im Themenstart) Aufgabe: Bei dem Dreieck ABC mit Basis Grundseite AB liegt an A ein rechter Winkel. M ist der Mittelpunkt von AB. Zu zeigen: Der Winkel ACM ist größer als die Hälfte von Winkel ACB. \quoteoff $% Gegebene Größen \pgfmathsetmacro{\Alpha}{90} % \pgfmathsetmacro{\b}{4} % \pgfmathsetmacro{\c}{4.5} % \pgfmathsetmacro{\a}{sqrt(\b^2+\c^2)} % \pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} % \pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} % \pgfmathsetmacro{\x}{(\b*\c)/(\a+\b)} % \pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}} \begin{tikzpicture}[%scale=0.7, font=\footnotesize, background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle, Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} }, Dreieck/.style={thick}, ] % Dreieckskonstruktion \coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0); \coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0); \coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b); \draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen % Annotationen - Dreieck \path[] (A) -- (C) node[midway, left]{$b$}; \path[] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$}; \coordinate[Punkt={below}{M}] (Mc) at (\c/2,0); \draw[] (Mc) -- (C); \coordinate[Punkt={below}{D}] (D) at (\x,0); \draw[] (D) -- (C); \path[] (A) -- (D) node[midway, below]{$x$}; %% Winkel \draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2, %% pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\cdot$" ] {angle =B--A--C}; \draw pic [draw, angle radius=5mm, angle eccentricity=1.4, %% pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\frac\gamma2$", ] {angle =A--C--D}; \draw pic [draw, angle radius=8mm, angle eccentricity=1.3, %% pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\frac\gamma2$", ] {angle =D--C--B}; \draw pic [draw, angle radius=12mm, angle eccentricity=1.2, %% pic text={$\Winkel$}, pic text options={}, "$\varkappa$", double ] {angle =A--C--Mc}; %% Punkte \foreach \P in {D,Mc} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt); \end{tikzpicture}$ Sei $\varkappa$ der Winkel, den die Seitenhalbierende $|CM|$ mit der Seite $|AC|=b$ einschließt und sei $|CD|$ die Winkelhalbierende des Winkels $\gamma$; und sei ferner $|AD|=x$, dann ist zu zeigen: $\varkappa > \dfrac{\gamma}{2} ~\Leftrightarrow~ |AD| < |AM|$, d.h. $x < \dfrac{c}{2}.$ Nach dem Winkelhalbierendensatz ist $ \dfrac{b}{a} = \dfrac{|AD|}{|DB|} = \dfrac{x}{c-x}$. \showon Beweis $ % Seitenlängen \pgfmathsetmacro{\a}{4} % \pgfmathsetmacro{\b}{3.5} % \pgfmathsetmacro{\c}{6} % \pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % \pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} % \pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} % \pgfmathsetmacro{\wA}{2*\b*\c*cos(\Alpha/2)/(\b+\c)} % \pgfmathsetmacro{\wB}{2*\a*\c*cos(\Beta/2)/(\a+\c)} % \pgfmathsetmacro{\wC}{2*\a*\b*cos(\Gamma/2)/(\a+\b)} % \pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}} \begin{tikzpicture}[%scale=0.7, font=\footnotesize, background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle, Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} }, Dreieck/.style={thick}, ] % Dreieckskonstruktion \coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0); \coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0); \coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b); \draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen % Annotationen - Dreieck \draw[red] (C) --+ (-\Beta-0.5*\Gamma:\wC) coordinate[Punkt={below}{W}] (W) node[midway, right]{$w$}; \path[] (A) -- (W) node[midway, below]{$m$}; \path[] (B) -- (W) node[midway, below]{$n$}; \draw pic [draw, angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.8, % pic text={$\alpha$}, pic text options={}, "$\gamma_1$", double ] {angle =A--C--W}; \draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.8, % pic text={$\alpha$}, pic text options={}, "$\gamma_2$", double ] {angle =W--C--B}; \path[] (A) -- (C) node[midway, left]{$b$}; \path[] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$}; \draw pic [draw, angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.8, % pic text={$\alpha$}, pic text options={}, "$\chi$", ] {angle =C--W--A}; \draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.8, % pic text={$\alpha$}, pic text options={}, "$\overline{\chi}$", ] {angle =B--W--C}; %%% Punkte \draw[fill=black!1] (W) circle (1.75pt); % Annottion - Text \node[below of=A, yshift=0.25cm, xshift=-7mm, anchor=north west, align=left, text width=2.3*\c cm, fill=black!1, draw=none, font=\normalsize ]{% \begin{itemize} \item Sei $w$ eine beliebige Ecktransversale von $C$; dann entliest man der Abbildung mit Hilfe des Sinussatzes $\dfrac{\sin(\chi)}{\sin(\gamma_1)} = \dfrac{b}{m}$ und $\dfrac{\sin(\overline{\chi})}{\sin(\gamma_2)} = \dfrac{a}{n}$.\\ Für die supplementären Winkel bei $W$ ist $ \sin(\overline{\chi}) = \sin(180^\circ -\chi) =\sin(\chi)$; also $\sin(\chi)=\dfrac{b}{m}\cdot \sin(\gamma_1) = \dfrac{a}{n}\cdot \sin(\gamma_2) =\sin(\overline{\chi})$. Damit erhält man die allgemeine Beziehung $$\dfrac{b\sin(\gamma_1)}{a\sin(\gamma_2)} = \dfrac{m}{n}$$ \item Für den Sonderfall $\gamma_1 =\gamma_2$ ist $w$ die Winkelhalbierende und man erhält $$\dfrac{b}{a} = \dfrac{m}{n}$$ \end{itemize} }; %% Winkelhalbierende %\draw[] (C) --+ (-\Beta-0.5*\Gamma:\wC) coordinate[Punkt={below}{W_c}] (Wc); %\path[] (A) -- (Wc) node[midway, below]{$m_c$}; %\path[] (B) -- (Wc) node[midway, below]{$n_c$}; %\draw pic [draw, angle radius=3mm, angle eccentricity=1.8, %% pic text={$\alpha$}, pic text options={}, %"$\gamma/2$", %] {angle =A--C--Wc}; %\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.8, %% pic text={$\alpha$}, pic text options={}, %"$\gamma/2$", %] {angle =Wc--C--B}; % %\draw[] (A) --+ (0.5*\Alpha:\wA) coordinate[Punkt={right}{W_a}] (Wa); %\path[] (B) -- (Wa) node[midway, above]{$m_a$}; %\path[] (C) -- (Wa) node[midway, above]{$n_a$}; %\draw pic [draw, angle radius=6mm, angle eccentricity=1.8, %% pic text={$\alpha$}, pic text options={}, %"$\alpha/2$", %] {angle =Wa--A--C}; %\draw pic [draw, angle radius=5mm, angle eccentricity=1.8, %% pic text={$\alpha$}, pic text options={}, %"$\alpha/2$", %] {angle =B--A--Wa}; % %\draw[] (B) --+ (180-0.5*\Beta:\wB) coordinate[Punkt={left}{W_b}] (Wb); %\path[] (A) -- (Wb) node[midway, left]{$m_b$}; %\path[] (C) -- (Wb) node[midway, left]{$n_b$}; %\draw pic [draw, angle radius=6mm, angle eccentricity=2, %% pic text={$\alpha$}, pic text options={}, %"$\beta/2$", %] {angle =Wb--B--A}; %\draw pic [draw, angle radius=8mm, angle eccentricity=1.7, %% pic text={$\alpha$}, pic text options={}, %"$\beta/2$", %] {angle =C--B--Wb}; % %%%% Punkte %\foreach \P in {Wa,Wb,Wc} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt); \end{tikzpicture} $ \showoff $\Leftrightarrow~ x = \dfrac{bc}{a+b} = \dfrac{c}{1+\dfrac{a}{b}}$. Da $a$ Hypotenuse, also längste Seite, ist $a > b ~\Leftrightarrow~ \dfrac{a}{b} > 1$, also $ \dfrac{c}{1+\dfrac{a}{b}} = x < \dfrac{c}{2}.$ \showoff


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pzktupel
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  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-31

Ein Newcommer stellt zuerst eine Knobelaufgabe. Das hatten wir kürzlich schon einmal. Sieht so aus, als ob einer seine Hausaufgaben erledigen lassen will. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/images/forum/subject/laugh.gif


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viertel
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  Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-31

\quoteon(2020-01-31 16:20 - geroyx in Beitrag No. 2) Der Thread sieht aus wie ein Einmalschnellschuss, um eine Lösung per PM zu erhalten. Es steht auch kein Stern am Titel, so dass man den Thread nicht als Rätsel erkennt. \quoteoff Ist ja wahrscheinlich auch kein Rätsel, sondern eine Haus- oder Wettbewerbsaufgabe. \quoteon(geroyx) Wie dem auch sei, ... \quoteoff Wie dem auch sei, Mister TikZ kann es sich nicht verkneifen, mit seinem Können brav die Aufgabe zu lösen. Wie auch in dem anderen Thread Umfanggleiche Dreiecke


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  Beitrag No.5, eingetragen 2020-02-01

\quoteon(2020-01-31 19:10 - viertel in Beitrag No. 4) Ist ja wahrscheinlich auch kein Rätsel, sondern eine Haus- oder Wettbewerbsaufgabe. \quoteoff Das weißt Du nicht, das ist einfach eine Behauptung von Dir. Und wahrscheinlich ist das auch nicht, weil das längst einer dieser selbstgekrönten Websheriffs hier stundenlang bei google rausgesucht hätte. Zudem habe ich den Rätselstellern die Lösungen per PM geschickt.


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  Beitrag No.6, eingetragen 2020-02-01

\quoteon(2020-02-01 15:20 - geroyx in Beitrag No. 5) \quoteon(2020-01-31 19:10 - viertel in Beitrag No. 4) Ist ja wahrscheinlich auch kein Rätsel, sondern eine Haus- oder Wettbewerbsaufgabe. \quoteoff Das weißt Du nicht, das ist einfach eine Behauptung von Dir. Und wahrscheinlich ist das auch nicht, weil das längst einer dieser selbstgekrönten Websheriffs hier stundenlang bei google rausgesucht hätte. \quoteoff Mußt du ständig hier rumstänkern? \quoteon(geroyx) Zudem habe ich den Rätselstellern die Lösungen per PM geschickt. \quoteoff Dann klopf dir mal selbst kräftig auf die Schultern :-P


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