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Gewöhnliche DGL » Systeme von DGL » Umwandlung einer DGL k-ter Ordnung in ein System
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Universität/Hochschule Umwandlung einer DGL k-ter Ordnung in ein System
curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-01


Hallo,

könnte mir vielleicht bitte jemand ein 3-Dimensionales, konkretes Beispiel  konstruieren, anhand dessen ich folgenden Satz nachvollziehen kann?



Ich raff's nämlich nicht.



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-04


push



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-02-04


Hallo,

klar, betrachte die Dgl
\[y'''(x)=-3y''(x)-3y'(x)-y(x).\] Setze also $y_1=y$, $y_2=y'$ und $y_3=y''$, so gilt
\[\begin{align*}
y_1' &=y_2\\
y_2' &=y_3\\
y_3' &=-3y_3-3y_2-y_1
\end{align*}\]



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-05


Hm, habe gehofft ein Beispiel hilft, aber ich blicke es trotzdem nicht. Wie kommst du denn auf $y_1$, $y_2$ usw.? Das wird nirgends definiert, was soll das sein?
Ist dein Beispiel überhaupt aus $\mathbb{R}^3$?

Verstehe überhaupt nicht, worum es geht, was gemacht werden soll oder wieso.



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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-02-07


Hallo curious_mind,
wenn Du die ursprüngliche Gleichung mit der letzen Zeile des Systems vergleichst, kannst Du ablesen, dass $y_1=y, y_2=y', \ldots, y_k=y^{(k-1)}$ gilt. Die ersten $k-1$ Gleichungen stellen sicher, dass die neuen Variablen $y_i$ die Bedingung
$${y^{(\ell-1)}}'=y^{(\ell)}$$ erfüllen.

Ich hoffe, dass das die Umwandlung etwas klarer macht.
Servus,
Roland



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-07


Hallo Roland und ochen,

ja, mag ja alles sein, dass diese Bedingungen erfüllt werden u.s.w., nur leider habe ich trotzdem keinen Funken einer Idee, was hier gemacht wird und vor allem wieso.

Ich weiß nicht mal, wo diese $y_i$ herkommen. Aufgrund der Formulierung im Satz, vermute ich, dass sie die Koordinatenfunktionen einer Lösungsfunktion $y \in\mathbb{R}^n$ sein sollen. Sieht für mich irgendwie so aus, als ob man bei einer Lösung $y$ die jeweiligen Koordinaten jeweils einmal ableiten kann um dann die nachfolgende Koordinate zu bekommen. Aber keine Ahnung, was mir das sagen soll.

Wie gesagt, ein richtig konkretes Beispiel, gerne in $\mathbb{R^3}$, fände ich sehr hilfreich. Also wo ich mal sehen kann, wozu dieser Satz dient und wie man das ausführt.



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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-02-08


Hallo curious_mind,
zuerst zu Deiner Frage, wieso man diese Umformung verwendet.

Es gibt viele Sätze und Verfahren zu Differentialgleichungen erster Ordnung, die sich leicht auf vektorwertige Funktionen verallgemeinern lassen, wie etwa den Satz von Picard-Lindelöf oder das Verfahren von Runge und Kutta. Mit der Umformung kann man die Theorie der Differentialgleichungen erster Ordnung auf die Differentialgleichung $k$-ter Ordnung anwenden.

Die $y_i$ sind andere Namen für die Funktionen $y^{(i-1)}$. Vielleicht hilft Dir das folgende Beispiel: ein Körper der Masse $m$ bewegt sich unter dem Einfluss einer ortsabhängigen Kraft $F_1(x)$ und einer von der Geschwindigkeit $v=x'$ abhängigen Kraft $F_2(x')$. Aus dem newtonschen Axiom $F=ma$ ergibt sich mit $a=x''$ die Differentialgleichung zweiter Ordnung
$$mx'' = F_1(x) + F_2(x')$$ die man in das System
$\begin{align}
x' &= v\\
v' &= \frac{1}{m} F_1(x) + \frac{1}{m} F_2(v)
\end{align}$
umformen kann.

Wenn die Funktionen $F_1$ und $F_2$ die Voraussetzungen des Satzes von Picard und Lindelöf erfüllen, ist die Lösung $x(t)$ durch die Anfangswerte $x(0)$ und $v(0)$ eindeutig bestimmt.

Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-15


Nein, leider hilft mir das auch nicht, da ich von Physik nicht den blassesten Schimmer habe.

Ich glaube mir bleibt nichts, als zu hoffen, dass keine DGL ran kommt... ☹️

Aber danke, dass du es versucht hast.



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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-02-15


Hallo,
bei solchen Überführungen von DGL n-ter Ordnung in ein System erster Ordnung, ist die Idee erstmal ein wenig zu definieren, so wie es Roland in #2 gemacht hat. Ich bleibe daher mal bei Rolands Beispiel: Man definiert bei einer DGL n-ter Ordnung, $n-1$ "Variablen", der nach Reihe wird jede Ableitung bis $n-1$ als ein neues y definiert. Darum gilt $y_1=y$ (die 0-te Ableitung), $y_1=y'$ (die erste Ableitung) und $y_3=y''$ (die zweite Ableitung). Jetzt kann mal alle $y_i$ ableiten, dann erhält man:
$y_1' = y' = y_2$, so hatten wir ja $y_2$ festgelegt.
$y_2' = (y')' =y''= y_3$, so hatten wir ja $y_3$ festgelegt.
Spannend wird es allerdings erst wenn wir jetzt $y_3$ ableiten:
$y_3'= (y'')'=y'''=-3y''-3y'-y$ - das war ja unsere Ausgangs-DGL.
Jetzt hatten wir aber für die $y'', y'$ und $y$ neue Bezeichnungen eingeführt, daher steht da (wenn wir diese Bezeichnungen einsetzen):
$$y_3'=-3y_3-3y_2-y_1$$ Was haben wir gewonnen? Im Prinzip haben wir ja jetzt ein DGL (System) erster Ordnung, bezüglich unser neu definierten Variablen gewonnen, durch geschicktes neu definieren. Diese ganzen anfänglichen Definitionen haben wir nur gemacht, um jede Ableitung unserer eigentlich DGL durch ein $y_i$ ersetzen zu können (um zu garantieren das keine höheren Ableitung mehr vorkommen). Wenn wir jetzt alles untereinander schreiben (bzw. die $y_i$ als Komponenten eines $y \in \mathbb{R}^3$ sehen) erhält man schließlich das Ergebnis aus #2.


-----------------
$\text{h}=6,626⋅10^{-34} \text{Js}$



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-25


Also, verstehe ich das richtig, dass der Sinn des Satzes und dieser Praktik insgesamt jener ist, dass man eine DGL k-ter Ordnung (die nicht so einfach zu lösen ist) lediglich umschreibt zu einem System mehrerer DGLs 1. Ordnung (die leichter zu lösen sind), und dabei ausnutzt, dass jedes $y^{(i)}, i\in \{1,..,k\}$ die (erste) Ableitung seines Vorgängers $y^{(i-1)}$ ist?

Also, anders gesagt, ich verstehe den Satz so und hätte das System so geschrieben:

<math>
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
(y)" \\
(y^{(1)})" \\
\vdots \\
(y^{(k-2)})"\\
(y^{(k-1)})" \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y"\\
y^{(2)} \\
\vdots \\
y^{(k-1)}\\
f(x,y,y",y^{(2)},\ldots,y^{(k-1)})
\end{pmatrix}
\end{equation*}
</math>

Ist das damit gemeint? (Und wäre das so geschrieben nicht viel suggestiver?)

Danke schon mal :)



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-03-25


Hi curious_mind,
es handelt sich um eine äquivalente Umformulierung.
Leichter lösen lässt sich das System dadurch nicht.
Gruß Buri



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curious_mind
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Wenn es sich nicht leichter lösen lässt, wozu sollte man das dann so umformen?



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-03-26


Das macht man, weil man für Dgl-Systeme erster Ordung viel leichter eine Theorie formulieren kann.
Z.B. die Sätze von Peano und Picard-Lindelöf (samt des zugehörigen Algorithmus) lassen sich problemlos auf Systeme übertragen.
Auch die Lösung inhomogener linearer Dgl. durch Variation der Konstanten ist bei Systemen einfach und bei Dgl. höherer Ordnung unübersichtlich.

Wally



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