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Universität/Hochschule Komplexes Kurvenintegral
shirox
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  Themenstart: 2020-02-04

Guten Tag, hab eine kurze Frage zu folgendem Integral $\int_{|z|=1} sin(z)/z^3 dz$ Da ich nicht sehe, wie man den Cauchyschen Integralsatz verwenden kann, hätte ich gedacht zu schauen, ob die Funktion innerhalb des Einheitskreises holomorph ist wobei ich hier nicht genau weiß, wie ich das am Besten machen kann, dann müsste das Integral ja $0$ ergeben oder nicht ? Liebe Grüße


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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\) Hallo shirox, Der Integrand ist auf der Einheitskreisscheibe nicht holomorph, da er eine Polstelle bei $z=0$ hat. Du brauchst hier die verallgemeinerte Cauchysche Integralformel: \[f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi\i}\int_{\vert\zeta-z\vert=1}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}\d\zeta.\] Viele Grüße Vercassivelaunos\(\endgroup\)


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shirox
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-05

Also wäre $\z=0$ und $f(z)=sin(z)$ und $n=2$ in diesem Fall? Vielen Dank


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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-05

Genau!


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shirox
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-05

Alles klar Vielen Dank!


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dietmar0609
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  Beitrag No.5, eingetragen 2020-02-05

was kommt denn raus ? Das Integral ist problemlos mit dem Residuensatz zu lösen. lg Dietmar


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shirox
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-06

Ich hatte $0$ raus, den Residuensatz behandeln wir in unserer Vorlesung nicht


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dietmar0609
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  Beitrag No.7, eingetragen 2020-02-06

wie hast du das dann mit der verallgemeinerten Cauchyschen Integralformel aus Beitrag 1 gelöst ? Gruss Dietmar


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shirox
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-06

Ich hätte es dann wie folgt gelöst: $\int_{|z|=1} \frac{sin(z)}{(z^3-0)^{(0+1)}}= \frac{sin(0)}{0!} 2 \pi * i= 0$ oder hab ich was übersehen?


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shirox hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
shirox hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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