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Analysis » Maßtheorie » Maßtheorie: Messbare Treppenfunktion / Nicht messbare Zerlegung
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Universität/Hochschule Maßtheorie: Messbare Treppenfunktion / Nicht messbare Zerlegung
marsmac
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  Themenstart: 2020-02-07

Hallo, möchte kurze prüfen, ob ich den Sachverhalt richtig verstanden habe bitte um Eure Hilfe bei folgender Aussage: Der Messraum sei gegeben durch ($\Omega$, $\mathscr{A}$) "[...] Es ist aber durchaus möglich, dass man eine messbare Treppenfunktion mit Hilfe einer nichtmessbaren Zerlegung darstellen kann, bspw. $t ≡ 0 = 0 \cdot \mathbf{1}_{A}(\omega) + 0 \cdot \mathbf{1}_{A^c}(\omega)$ mit $A \notin \mathscr{A}$" Jetzt meine 4 Gedanken dazu: Meiner Meinung nach könnte man auf der rechten Seite der Gleichung die erste Null vor der Indikatorfunktion $\mathbf{1}_{A}$ weglassen, da $\omega$ nie in $A$ liegen kann, da $A \notin \mathscr{A}$. Die zweite Null ist hingegen wichtig, da $\forall \, \omega \in \Omega :\omega \in A^c$, da $A^c = \Omega $ \ $ A = \Omega$. Kleiner Nebengedanke: Obwohl weder $A$ noch $A^c$ messbar sind, kann die Indikatorfunktion für $A$ und $A^c$ angewandt werden, da dies nichts mit der Messbarkeit $\textit{dieser}$ Mengen zu tun hat. Das Urbild von $t$ ist: \[ \begin{equation} t^{-1}(B)= \begin{cases} & \Omega & & 0 \in B\\ & \emptyset & & 0 \notin B \end{cases} \end{equation}\] ...weshalb die Funktion messbar ist. Vielen Dank für Eure Hilfe.

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