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Mathematik » Topologie » Fundamentalgruppe des Torus berechnen mit Van-Kampen
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Universität/Hochschule Fundamentalgruppe des Torus berechnen mit Van-Kampen
Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-15


Das Fundamentalpolygon ist ja als Quotient homeomorph zum Torus. Also kann ich ja einfach mit dem Fundamentalpolygon P dieses Problem angehen.Ich betrachte jetzt einfach zwei offene Mengen U,V wobei U eine Kreisscheibe im inneren des Quadrates ist und V so gewählt, dass U geschnitten V einen Kreisring ergibt und V das restliche Quadrat komplett ausfüllt.Damit können wir ja das Theorem von Van-Kampen anwenden. Die Fundamentalgruppe von U ist ja trivial. V kann ich ja zu den äußeren Seiten des Quadrats deformieren. Es existiert ein Deformationsretrakt zum Rand vom Quadrat.

Damit ist V homotopieäquivalent zum Rand. Der Rand von dem Quadrat ist aber mit entsprechender Identifikation homeomorph zu S1vS1. Und damit hat dieser die Fundamentalgruppe Z*Z.

Für die Fundamentalgruppe von X haben wir also nur die zwei Erzeuger ,nennen wir sie a,b , aus V.

Es fehlen also nur noch die möglichen Relationen aus der Fundamentalgruppe von U geschnitten V.

Als Relation habe ja dann folgendes:

fed-Code einblenden

So wie komme ich von hier jetzt drauf, dass ich als Relation                  
 aba^(-1)b^(-1) = 1 habe ?






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Alif
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-16


Ich weiß natürlich nicht genau, wie du das gelernt hast und bei mir ist das auch schon ein paar Jahre her, aber ich merke mir das immer so:
Du kannst den Torus ja zweidimensional darstellen: de.wikipedia.org/wiki/Torus#/media/Datei:TorusAsSquare.svg
und hier muss ich eben \(aba^{-1}b^{-1}\) gehen, um eine Umrundung zu machen.



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Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-17


Ist das dann bei allen Konstruktionen über Fundamentalpolygone so, dass zumindest eine Relation einfach das Wort ist, welches man bekommt, wenn man das Polygon einmal, ich sag jetzt mal im Uhrzeigersinn, durchläuft ?



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Alif
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-18


Soweit ich weiß, ja, wenn ich meine Prüfung hinter mir habe, schaue ich da aber gerne nochmal genauer, wenn du möchtest.
Super Beispiele, um das nach diesem Schema weiter zu vertiefen, wären die kleinsche Flasche und der reell projektive Raum.



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Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-20


Ich hätte noch mal kurz eine Frage zu dem Beispiel oben mit dem Torus. Ich hatte ja die Menge

fed-Code einblenden


Man kann ja für h einfach den Generator von U geschnitten V betrachten. U geschnitten V ist ja wie erwähnt im Grunde ein Kreisrand. Wenn ich diesen Generator mit der induzierten Abbildung i_2(h) abbilde, dann ist ja [h] nun ein Element von der Fundamentalgruppe von U. In U kann ich ja h als Schleife auf den Rand ziehen. Und damit ist [h]=[aba^(-1)b^(-1)], h ist also in der selben Äquivalenzklasse in der Fundamentalgruppe von U.

Damit folgt doch h_1(h) = [1] = [aba^(-1)b^(-1)] = h_2(h). Ich hoffe ,dass das bisher so richtig ist. Wie folgert man jetzt, dass 1 = aba^(-1)b^(-1) in der Relation stehen muss, nach dem Obigen gilt die Gleichheit doch bis jetzt nur für die Äquivalenzklassen ?



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-02-20


2020-02-17 23:19 - Pter87 in Beitrag No. 2 schreibt:
Ist das dann bei allen Konstruktionen über Fundamentalpolygone so, dass zumindest eine Relation einfach das Wort ist, welches man bekommt, wenn man das Polygon einmal, ich sag jetzt mal im Uhrzeigersinn, durchläuft ?

Es gibt einen Klassifikationssatz für sinnvolle labelings. Solche Konstruktionen liefern genau die Flächen. Siehe z.B. [Munkres, Kapitel 12].


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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