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Analysis » Topologie » Kompakte Mannigfaltigkeit (dim n), Immersion in R^n
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Autor
Universität/Hochschule Kompakte Mannigfaltigkeit (dim n), Immersion in R^n
Lea5619
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-20


Wie kann man zeigen, dass auf einer kompakten Mannigfaltigkeit mit Dimension n keine Immersion in den euklidischen Raum der Dimension n gibt?



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lucceius
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-20


Hallo Lea5619,

ich gehe davon aus, dass du die folgende Aussage zeigen möchtest:
fed-Code einblenden
Ein Tipp: Falls es so eine Abbildung doch gibt, so verwendet man den Satz von der Umkehrabbildung und erhält einen lokalen glatten Diffeomorphismus
fed-Code einblenden
Außerdem sind wir in einem Hausdorffraum und unsere Mannigfaltigkeit ist kompakt ...

Ich hoffe, dass das hilft.

Gruß
lucceius



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Lea5619
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-20


Hmmm. Ich habe gelesen, dass jede n-dim Untermannigfaltigkeit des R^n offen ist.
Wenn $M$ also eine kompakte Untermannigfaltigkeit ist, dann ist das Bild $F(M)$ aufgrund der Stetigkeit kompakt und damit abgeschlossen. Also hätten wir ein Widerspruch...
Gilt das so?
Aber warum ist jede n-dim Untermannigfaltigkeit des $R^n$ offen?



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lucceius
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-20


Ein lokaler Diffeomorphismus ist insbesondere eine offene Abbildung (Übung: beweisen!), daher ist das Bild von fed-Code einblenden
in fed-Code einblenden offen.
Ich denke, du hast den Widerspruch noch nicht herausgearbeitet. Was ist die Konsequenz, wenn eine Teilmenge von fed-Code einblenden
offen, abgeschlossen und nichtleer ist?

Gruß
lucceius



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Fabi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-02-20


Hi,

2020-02-20 21:44 - lucceius in Beitrag No. 3 schreibt:
Ein lokaler Diffeomorphismus ist insbesondere eine offene Abbildung (Übung: beweisen!), daher ist das Bild von fed-Code einblenden
in fed-Code einblenden offen.
Ich denke, du hast den Widerspruch noch nicht herausgearbeitet. Was ist die Konsequenz, wenn eine Teilmenge von fed-Code einblenden
offen, abgeschlossen und nichtleer ist?

Gruß
lucceius

So ganz reicht das noch nicht; versuche einmal elementar zu begründen, warum die abgeschlossene Einheitskreisscheibe im $\mathbb{R}^n$ keine kompakte n-dimensionale Mannigfaltigkeit (ohne Rand) ist.

vG,
Fabi


-----------------
"There would be the mathematical equivalent of worldwide rioting." (P.C.)

Willst du Hamburg oben sehen, musst du die Tabelle drehen.



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Lea5619
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-20


Dass diese Teilmenge $\mathbb{R}^n$ entspricht.
Also ist das Bild von $F$ ganz $\mathbb{R}^n$, was keine Untermannigfaltigkeit ist, weil eine Untermannigfaltigkeit eine Teilmenge ist. Deshalb ist $F$ keine Immersion. Ist das dann der Widerspruch?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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Lea5619
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-21


Hi,
warum ist das mit der Einheitskugel relevant?
Und ich denke die Einheitskreisscheibe ohne Rand ist keine kompakte Untermannigfaltigkeit, weil sie ohne Rand nicht abgeschlossen ist und damit im endlichen $\mathbb{R}^n$ nicht kompakt...



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lucceius
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-02-21


2020-02-20 22:59 - Lea5619 in Beitrag No. 5 schreibt:
Dass diese Teilmenge $\mathbb{R}^n$ entspricht.
Also ist das Bild von $F$ ganz $\mathbb{R}^n$, was keine Untermannigfaltigkeit ist, weil eine Untermannigfaltigkeit eine Teilmenge ist. Deshalb ist $F$ keine Immersion. Ist das dann der Widerspruch?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
Nein. Der Widerspruch liegt in der Kompaktheit:
fed-Code einblenden

Gruß
lucceius



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