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Analysis » Topologie » Einbettung und Immersion
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Universität/Hochschule Einbettung und Immersion
Nito1398
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 21
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-20


Hallo,

ich beschäftige mich gerade damit die Definitionen von Einbettung, Immersion etc. nachzuvollziehen. Ist es richtig, dass jede Einbettung eine Immersion ist?
Denn nach den Definitionen, die ich gefunden habe, heißt es:
Eine Immersion ist eine Abbildung $\phi:M\rightarrow N$, wobei $M$ und $N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind und das Differential $d\phi_p: T_pM \rightarrow T_{\phi(p)}N$ injektiv für alle $p\in M$ ist, wobei das $T$ für den Tangentialraum steht.
Und wenn ich es richtig verstanden habe, fehlt für die Einbettung nur noch die Eigenschaft, dass $\phi$ ein Homomorphismus auf $\phi(M) \subset N$ ist.

Sind die Definitionen so korrekt?

Wie weise ich jetzt Einbettungen bzw Immersionen nach?

Z.B. für diese Abbildung, die eine Einbettung sein soll:
$[x:y:z] \rightarrow \frac{(yz,xz,xy,x^2+2y^2+3z^2)}{x^2+y^2+z^2}$ (von der realen projektiven Ebene)

Für die erste Eigenschaft wissen wir, dass die reale projektive Ebene eine Mannigfaltigkeit ist. Wie zeigen wir, dass das Bild ebenfalls eine Mannigfaltigkeit ist?
Und dann fehlt noch zz., dass die Ableitung Injektiv ist... Aber die Ableitung ist ziemlich lang. Deshalb frage ich mich, ob das der richtige Weg ist hierüber Injektivität zu zeigen? Geht es auch effizienter?


Jetzt möchte ich folgendes Beispiel verstehen:

Jetzt sollen



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