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Lineare Algebra » Eigenwerte » Ablesen der Eigenwerte, der geometrischen und algebraischen Vielfachheit von Eigenwerten
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Autor
Universität/Hochschule J Ablesen der Eigenwerte, der geometrischen und algebraischen Vielfachheit von Eigenwerten
MikaRute
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 20.02.2020
Mitteilungen: 23
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-20


Hallo,

Zu Beginn tut es mir leid, falls ich das falsche Thema gewählt habe, da dies mein erster Beitrag ist. 😮

Ich bin gerade daran die algebraische und geometrische Vielfachheit von einem EW einer Matrix anzugeben.

Die Aufgabe verlangt, dass ich dies ohne Berechnung des charakteristischen Polynom machen soll. Gegeben ist, der EW = -3. Die geometrische Vielfachheit habe ich mittels der Bestimmung des Eigenraums von EW = -3 bestimmt.

Jetzt scheitert es bei mir gerade daran die algebraische Vielfachheit davon abzulesen.

Auch frage ich mich, ob man EW auch von einer Matrix ablesen kann, da die Aufgabe von mir verlangt die geometrischen und algebraischen Vielfachheiten der Eigenwerte zu bestimmen.

Also meine Frage: Lassen sich EW, geometrische Vielfachheiten und algebraische Vielfachheiten der Eigenwerte ablesen oder verstehe ich die Aufgabe nicht.

Der Link zur Matrix:


Ich bin über jede Hilfe tierisch dankbar!



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X3nion
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 605
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-21


Hallo MikaRute und herzlich willkommen auf dem Matheplaneten! 😄

Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes ist immer kleinergleich der algebraischen Vielfachheit. Dabei ist die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes anhand des charakteristischen Polynoms zu erkennen.

Beispiel: ist $\chi_{B}(\lambda) = (\lambda + 3)^{3} \cdot (\lambda - 1) = 0$ das charakteristische Polynom einer Matrix B, beträgt die Vielfachheit des Eigenwertes „-3“ den Wert „3“, denn „-3“ ist eine dreifache Nullstelle des Polynoms.

Was wäre in deinem Fall das charakteristische Polynom der Matrix A?

Viele Grüße,
X3nion



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MikaRute
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 20.02.2020
Mitteilungen: 23
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-21


Hi X3nion,

Erstmal vielen Dank für die nette Begrüßung 😉

Ich sollte in der Aufgabe das charakteristische Polynom nicht berechnen.
Gibt es einen Weg sich dieses ohne Berechnung mittels der Determinante herzuleiten?  😵

LG



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Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 664
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-21


Hi,
könntest du bitte die ganze Aufgabe posten? Damit ich wirklich weiß welche Informationen gegeben sind und welche nicht.



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MikaRute
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 20.02.2020
Mitteilungen: 23
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-21


Ja, ich habe es beigefügt



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zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 936
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-02-21


Für die geometrische Vielfachheit solltest du über die Berechnung des Eigenraums 2 erhalten haben. Also muss die algebraische Vielfachheit entweder 2 oder 3 sein. Die 3 kannst du ausschließen, weil du aus Aufgabenteil a) weisst, dass 0 ein weiterer Eigenwert ist.



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MikaRute
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 20.02.2020
Mitteilungen: 23
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-21


Wie bist du auf den Entschluss gekommen, dass die algebraische Vielfachheit 2 oder 3 sein muss?

Die geometrische Vielfachheit des von dem EW = -3 ist 2, das habe ich durch eine Berechnung herausgefunden, jedoch verstehe ich nicht wie du auf den Entschluss kommst, dass die algebraische Vielfachheit von EW = -3 2 oder 3 sein muss.



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 3214
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-02-21


Hallo und auch noch von mir willkommen hier im Forum!

Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts ist kleiner oder gleich seiner algebraischen Vielfachheit. Auf der anderen Seite hast du eine 3x3-Matrix. Also ist die kleinste Möglichkeit für die algebraische Vielfachheit hier 2 (das ist die geometrische V.), die größte Möglichkeit ist 3 (das ist der theoretisch größtmögliche Rang einer 3x3-Matrix).

Und beachte unbedingt zippy's Hinweis, warum der Wert 3 hier nicht infrage kommt.

Das kann man übrigens der Matrix recht gut direkt entnehmen, wenn man sich deren Spalten genauer ansieht: die Summe der 2. und 3. Spalte ist ein Vielfaches der ersten Spalte.


Gruß, Diophant



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MikaRute
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Dabei seit: 20.02.2020
Mitteilungen: 23
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-21


Vielen Dank für die zahlreichen Antworten!!!!!! 😄
Jetzt ist mir das Thema um einiges klarer geworden :)



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