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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Eindeutigkeit einer linearen Abbildung
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Universität/Hochschule Eindeutigkeit einer linearen Abbildung
xyz_chan12
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 22.02.2020
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-22


Hallo allerseits!

Ich bin gerade auf ein Beispiel gestoßen, welches mir nicht ganz einleuchtet.



Und zwar gehts im ersten Punkt darum zu bestimmen, ob die lineare Abbildung eindeutig ist. Hier würde ich sagen nein ist sie nicht, da beim Anschreiben als lineare Fortsetzung ein Widerspruch entsteht.

Man kann auch direkt aus der Abbildung ablesen, dass diese nicht injektiv ist.

Doch wie gehts weiter? Wie kann man den Kern(f) bestimmen?

Würde mich über ein paar Denkanstöße freuen.

Liebe Grüße



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Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 812
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo xyz_chan12,

zur Eindeutigkeit: Was ist denn dein Widerspruch? Tatsächlich ist $f$ nämlich eindeutig bestimmt, da $(1,-3)$ und $(3,-2)$ zusammen eine Basis von $\R^2$ bilden.

Zum Kern: Zunächst einmal ist ja der Kern einer Abbildung die Menge aller Vektoren, die auf 0 abgebildet werden. Du hast hier auf alle Fälle schonmal zwei Vektoren $(1,-3)$ und $(3,-2)$ gegeben, welche das selbe Bild besitzen. Was ist dann das Bild von $(1,-3)-(3,-2)$?  

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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xyz_chan12
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Mitteilungen: 3
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-23


Hallo Vercassivelaunos!


Vielen Dank für deine rasche Antwort!

Ok ich verstehe was du meinst. Der Kern von f wären also alle Vielfachen des Vektors \(\bigl(\begin{smallmatrix}
\\2
\\1

\end{smallmatrix}\bigr)\).

Die zweite Menge zu finden ist dann auch relativ simpel. Und um die dritte Menge \(x \in \mathbb{R}^{2}\) zu finden welche den Vektor \(\bigl(\begin{smallmatrix}
\\6
\\1
\\-2
\end{smallmatrix}\bigr)\) abbildet, muss man die lineare Abbildungsmatrize berechnen bzw. findet heraus, dass x2 nur den Wert 0 annehmen kann. Somit wäre x die leere Menge. Stimmt mein Gedanke?

Vielen Dank nochmal für deine Hilfe.

Liebe Grüße



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Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 812
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-23

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2020-02-23 00:01 - xyz_chan12 in Beitrag No. 2 schreibt:
Die zweite Menge zu finden ist dann auch relativ simpel.

Wie sieht sie denn aus?

Für die dritte Menge hast du auch Recht. Die Methode würde ja grundsätzlich auch für die anderen beiden stimmen. Wenn $A$ die Abbildungsmatrix wäre, dann ist ja die erste ($\ker f$) die Lösungsmenge des Gleichungssystems

\[Ax=0.\]
Die zweite Menge wäre die Lösungsmenge des Systems

\[Ax=\vector{6\\0\\-2},\]
und die dritte ist die Lösungsmenge des Systems

\[Ax=\vector{6\\1\\-2}.\]
\(\endgroup\)


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