Die Mathe-Redaktion - 06.04.2020 01:00 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps für den MP

Werbung

Bücher zu Naturwissenschaft und Technik bei amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 450 Gäste und 11 Mitglieder online

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Differentiation » Differentialrechnung in IR » n-Mal differenzierbare Funktion
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule n-Mal differenzierbare Funktion
raede
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 117
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-24


Hallo zusammen

Die mir gestellte Aufgabe lautet wie folgt:

Finden Sie ein Beispiel für eine Funktion die n-Mal, aber nicht (n+1)-mal differenzierbar ist.

Mein Ansatz:

Wir wissen aus der Vorlesung, dass die Betragsfunktion nicht differenzierbar ist an der Stelle 0. Was wäre also wenn ich meine Funktion wie folgt definiere:

\(f(x)=|x|^{n+1}\)

Diese Funktion sollte n-Mal differenzierbar sein, aber nicht n+1 -Mal, da beim n+1-Mal es gleich |x| ist.

Stimmt meine Annahme?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8687
Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo, raede,

überprüfe das mal für \(n=1\).

Wally
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
raede
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 117
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-24


Ich habe soeben noch versucht den Beweis aufzustellen, dass die Funktion \(f(x) = |x|^{n+1}\) differenzierbar ist.

Für x > 0:

\(\lim \limits_{x \to x_0} \frac{x^{n+1}-x_0^{n+1}}{x-x_0}\)

Das ist gleich:

\(\lim \limits_{x \to x_0} \frac{(x-x_0) \sum \limits_{k=0}^{n} x^{n-k}x_0^k}{x-x_0} \)

Dieser Grenzwert existiert, womit die Funktion differenzierbar ist für x > 0. Wie könnte ich den Beweis für x < 0 anfangen?

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
raede
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 117
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-24


Hallo Wally

Bei n=1 verhält sich doch meine Funktion gleich wie f(x) = x^2. Was als Polynom differenzierbar ist, oder?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 3214
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-02-24


Hallo raede,

hier stand Unsinn, sorry.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Differentialrechnung in IR' von Diophant]



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 5239
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-02-24


2020-02-24 08:40 - raede in Beitrag No. 3 schreibt:
Bei n=1 verhält sich doch meine Funktion gleich wie f(x) = x^2. Was als Polynom differenzierbar ist, oder?

Anders gefragt: Warum meinst du also, dass die Funktion $f(x)=|x|^2=x^2$ nicht zweimal differenzierbar sein sollte, also deine obige Annahme  bez. eines allg. Beispiels stimmt?  😮

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
raede
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 117
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-24


Hallo zusammen

Der Unterschied von \(|x|^2 und x^2\) bzgl. Differenzierbarkeit ist mir nun klar. Das erste lässt sich nur ein Mal ableiten, da die erste Ableitung gleich: \(2|x|\) ist, was nicht differenzierbar wäre in 0. \(x^2\) hingegen ist unendlich oft differenzierbar.

Wie kann ich aber beweisen, dass für Exponenten grösser als 1 \(|x|^n, x^n\) sich gleich verhalten und somit differenzierbar sind.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 3214
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-02-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo nochmals,

2020-02-24 09:31 - raede in Beitrag No. 6 schreibt:
Der Unterschied von \(|x|^2 und x^2\) bzgl. Differenzierbarkeit ist mir nun klar.

Das ist schlecht. Denn diesen Unterschied gibt es nicht.

2020-02-24 09:31 - raede in Beitrag No. 6 schreibt:
Das erste lässt sich nur ein Mal ableiten, da die erste Ableitung gleich: \(2|x|\) ist...

Nein, das ist ein Denkfehler. Die Ableitung der Quadratfunktion ist und bleibt \(2x\), egal ob man erstere in Betragszeichen packt oder nicht.

PS: ich bin mir nicht sicher, ob man deinen Ansatz hier irgendwie retten kann. Daher zwei Ideen:
- mache etwas mit einer abschnittsweise definierten Funktion
- oder mit einem Produkt einer geeigneten Potenzfunktion und einer Winkelfunktion mit geeignetem Argument...



Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
raede
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 117
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-24


Also ist die Ableitung von |x|^2 und x^2 = 2x?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 3214
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-02-24


2020-02-24 09:44 - raede in Beitrag No. 8 schreibt:
Also ist die Ableitung von |x|^2 und x^2 = 2x?

Ja klar: denn es handelt sich ja (gleichen Definitions- und Wertebereich vorausgesetzt) um die gleiche Funktion.


Gruß, Diophant



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Kezer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 627
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-02-24


Für $n = 2$ versuche mal $x \mapsto x|x|$. Die Idee ist es die Betragsfunktion in $0$ zu glätten.


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 812
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-02-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo raede,

nimm doch einfach die $n$-te Stammfunktion von $\vert x\vert$. Diese kannst du abschnittsweise bestimmen. Für $x<0$ musst du zu $-x$ die $n$-te Stammfunktion finden, und für $x\geq0$ die von $x$.

Eine Anmerkung zur Ableitung von $\vert x\vert^2$: Die Betragsfunktion ist auf $\R\backslash\{0\}$ differenzierbar und hat dort die Vorzeichenfunktion
\[\operatorname{sgn}x=\begin{cases}1&x>0\\0&x=0\\-1&x<0\end{cases}\] als Ableitung (oft wird auch $\vert x\vert:=x\operatorname{sgn}(x)$ definiert, woraus sich die Ableitung ziemlich automatisch ergibt). Die Ableitung von $\vert x\vert^2$ auf $\R\backslash\{0\}$ ist also nach Kettenregel $2\operatorname{sgn}(x)\vert x\vert=2x$.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kezer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 627
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-02-24


Hi Vercassivelaunos,

ich verstehe nicht ganz den Sinn deiner Ableitung von $x \mapsto |x|^2$, möchtest du hiermit einfach nur einen anderen Weg zeigen?
Die Ableitung ist schließlich klar, siehe Beitrag No. 5 oder No. 7.

Den Stammfunktionansatz finde ich sehr elegant.  😄


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 812
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-02-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Ich wollte damit nur nochmal aufzeigen, was der Fehler war bei der Herangehensweise, $\vert x\vert$ beim Ableiten genau wie $x$ zu behandeln. Nämlich dass $\vert\cdot\vert$ eine Funktion mit eigener Ableitung ist, die man beim Ableiten von $\vert x\vert^2$ miteinbeziehen muss.
Das einfach nur als Ergänzung zu den anderen Beiträgen, deren Fokus eher darauf lag, warum $2x$ die richtige Ableitung ist, statt darauf, wo der ursprüngliche Fehler lag.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
raede wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP, that seems no longer to be maintained or supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]