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Mathematik » Topologie » Abbildung fortsetzbar bei trivialer Fundamentalgruppe
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Universität/Hochschule J Abbildung fortsetzbar bei trivialer Fundamentalgruppe
Kezer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1659
  Themenstart: 2020-03-06

Hi, folgende Aufgabe ist #5 aus Kapitel 1.1 in Hatcher. Zeige für einen topologischen Raum $X$, dass folgende Bedingungen äquivalent sind: (a) Jede Abbildung $S^1 \to X$ ist homotop zu einer konstanten Abbildung. (b) Jede Abbildung $S^1 \to X$ lässt sich zu einer Abbildung $D^2 \to X$ fortsetzen. (c) Es gilt $\pi_1(X,x_0) = 0$ für alle $x_0 \in X$. Mir fehlt die Implikation $(a) \implies (b)$ oder äquivalent $(c) \implies (b)$. Da Funktionen $S^1 \to X$ genau die geschlossenen Wege in $X$ sind, wollen wir intuitiv diese Kurve ausfüllen - das wäre intuitiv eine Fortsetzung nach $D^2 \to X$. Ich weiß aber nicht, wie diese Idee rigoros gemacht werden kann. Tipps wären cool.


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DavidM
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.06.2012
Mitteilungen: 374
  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-06

Hallo Kezer, es ist schon eine ganze Weile her, dass ich mich mit solchen Sachen beschäftigt habe, aber folgendes sollte eigentlich funktionieren. Sei $f: S^1 \to X$ stetig. Wenn (a) gilt, gibt es ein stetiges $F: S^1 \times [0,1] \to X$ mit $F(x,1)=f(x)$ für alle $x \in S^1$ und $F(x,0)$ konstant. Daraus sollte man jetzt, wenn ich nichts übersehe, mittels Polarkoordinaten ziemlich direkt eine stetige Abbildung $D^2 \to X$ konstruieren können. Gruß, David


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vava123
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 01.06.2019
Mitteilungen: 42
  Beitrag No.2, eingetragen 2020-03-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\dim}{\mathrm{dim}\,} \newcommand{\im}{\mathrm{im}\,} \newcommand{\ker}{\mathrm{ker}\,} \) Als Ergänzung: Man kann zeigen, dass es eine Projektion $\pi \colon S^1 \times [0,1] \to (S^1 \times [0,1])/\sim$ gibt (für eine geeignete Äquivalenzrel. $\sim$), sodass $ D^2 \cong (S^1 \times [0,1])/\sim $ und die Homotopie $F$ über $\pi$ faktorisiert. Die universelle Eigenschaft der Quotiententopologie liefert dann die Stetigkeit der induzierten Fortsetzung $D^2\to X$. Viele Grüße\(\endgroup\)


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Kezer
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Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1659
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-06

Super, danke euch! War leichter als erwartet. Um DavidMs Lösung zu Ende zu führen: Wir nehmen die Abbildung $$D^2 \to [0, 2 \pi) \times [0,1] \to S^1 \times [0,1] \to X,$$ wobei die erste Abbildung Polarkoordinaten sind.


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Fabi
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Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4578
  Beitrag No.4, eingetragen 2020-03-06

Hallo Kezer, Nur zur Sicherheit: In a) ist keine Rede von einem Basispunkt, in c) aber schon. Geht das in deinen Beweis ein? 😉 vG, Fabi


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Kezer
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Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1659
  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-06

Hi Fabi, ja, das geht in meinem Beweis ein. Danke für den Hinweis.


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Kezer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1659
  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) Nur eine kurze Anmerkung, da ich eben nochmal über diese Aussage gestoßen bin. Heute hätte ich die Aufgabe wie vava123 gelöst: Über die universelle Eigenschaft der Quotiententopologie faktorisiert die Homotopie $H:S^1 \times I \to X$ über den Kegel $CS^1 \cong D^2$. Letztendlich ist das aber nicht viel anders als die Lösung von DavidM. Wenn man sich den Definitionsbereich von $H$ als Quadrat (mit identifizierten vertikalen Seiten) aufzeichnet und die obere Seite mit $*$ markiert, dann erkennt man, dass man die obere Seite bei der Abbildung identifizieren kann. So entsteht der Kegel und diese Beobachtung liefert genau den Beweis.\(\endgroup\)


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