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Mathematik » Topologie » Intuition für Kettenhomotopie
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Universität/Hochschule J Intuition für Kettenhomotopie
Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-08


Hi,

gegeben seien zwei Kettenkomplexe $(C_{\ast}, \partial^C), (D_{\ast}, \partial^D)$ und zwei Morphismen $f_{\ast},g_{\ast}: (C_{\ast}, \partial^C) \to (D_{\ast}, \partial^D)$. Bekanntlich heißt dann eine Folge von Homomorphismen $h_n : C_n \to D_{n+1}$ Kettenhomotopie, wenn gilt $$f_n - g_n = h_{n-1} \partial^{C}_n + \partial^{D}_{n+1} h_n.$$ Meine Frage: Wieso diese Definition? Gibt es eine intuitivere Erklärung als dass homotope Abbildungen genau so eine Gestalt induzieren [Hatcher, p. 111 - 113]?


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-11


Der Begriff ist tatsächlich aus der Topologie motiviert. Es gibt aber auch eine Ähnlichkeit zwischen den beiden Konzepten. Das ist kein Zufall und betrifft auch einige weitere Begriffe. Am besten lassen sich diese Zusammenhänge im Rahmen von Modellkategorien erklären. Sowohl die topologischen Räume als auch die Kettenkomplexe tragen nämlich Modellstrukturen. Eine Standardreferenz ist Homotopy theories and model categories von Dwyer-Spalinski.
 
Ist eine Modellkategorie $\mathcal{M}$ gegeben mit einem Objekt $A$, so faktorisiert der natürliche Morphismus $A \sqcup A \to A$ als $A \sqcup A \xrightarrow{i} A \wedge I \xrightarrow{p} A$ mit einer Kofaserung $i$ und einer azyklischen Faserung $p$. Man nennt dann $A \wedge I$ ein Zylinderobjekt von $A$. Zwei Morphismen $f,g : A \to B$ heißen homotop, wenn sich der induzierte Morphismus $(f,g) : A \sqcup A \to B$ auf den Zylinder $A \wedge I$ fortsetzen lässt.

Für $\mathcal{M} = \mathbf{Top}$ erhält man den üblichen Begriff des Zylinders und der Homotopie aus der Topologie. Für $\mathcal{M} = \mathbf{Ch}_R$ erhält man man den Begriff des Zylinders eines Kettenkomplexes (Weibel, Homological Algebra, Abschnitt 1.5) und den üblichen Begriff der Kettenhomotopie (Weibel, Homological Algebra, Exercise 1.5.3).
 



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-11


Sehr cool, danke. Umgekehrt sollte man wohl auch hoffen, dass die Kettenhomotopie für passende Modellstrukturen auf $\mathbf{Ch}_R$ genau den Homotopiebegriff liefert.


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