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 Horus-Auge |
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Bekell
Aktiv 
Dabei seit: 05.09.2008
Mitteilungen: 3227
 |  Themenstart: 2020-03-15
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Ich möchte gewisse Teile des Horus-Auges berechnen.
Das ist das Horus-Auge.
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_0021_-_Horusaugekl.png
Mich interessieren vor allem die Flächen X und Z. Ich will versuchen, eine größtmögliche Näherung zu erreichen, ohne integrieren zu müssen. Die Iris Y ist 3 mal so groß, wie die Pupille B. Halbe Iris+ halbe Pupille = X+Z. Von den beiden krummen Linien des krummlinigen Dreiecks ADZ wissen wir, daß die eine doppelt so lang ist, wie die andre. Es geht also um 2/3 und 1/3 des Bogens DC.
Wie gehe ich vor?
Ich ziehe als Hilfslinie die Diagonale CD
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_0022_-_Horusauge.png
Weil die Fläche vom Segment (CJ) gleich der des Hornes ist. Das Segment kann man berechnen. Es ist Fläche (Iris+Pupille) - 0,5 durch 4.
Das Dreieck HJI kann man berechnen, indem man vernachlässigst, daß JH ein Bogen ist, und keine Linie. Den kleinen Fehler nehmen wir in Kauf. JH ist 0,366, JI ist 1 - Wurzel 2 halbe = 0,292. Und der Winkel HJI ist 45° JH = 0,220
Fläche (Iris+Pupille) Pi r^2 = 3,141 * 0,25 = 0,785 - 0,5 = 0,285 / 4 = 0,0713 = 1 Segment = 1 Horn x 2, weil das Weisse des HorusAuges aus zwei Hörnern + 2 Dreiecken HJI besteht, = 0,142
Fläche Dreieck HJI = Wir unterstellen einen rechten Winkel und berechnen dann das Mittelstück )Rhomboid) zu 0,220 * 0,292 = 0,0644
Das ist schon der ganze Rhomboid an der Spitze der beiden Hörner. Jetzt addieren wir noch die beiden Hörner = 0,206 beträgt die rechte weisse Fläche neben der Iris des Horusauges mit einem kleinen Fehler. Beide weissen Flächen, also rechts und links der Irispupille sind also ca. 0,4 groß und damit ist ein weißes Teil mit 0,206 geringfügig größer 0,01 = 1 % als die zentrale Pupille mit 0,196.
ist das Okay soweit?
Wie groß mag der kalkulierte Fehler sein? Ich denke, da wir den Winkel mit 90° zu groß gewählt, es wird vermutlich 89 oder 88° sein, wird vielleicht dies 1 % Differenz noch verschwinden, so daß Pupille = weisses Eck rauskommt.
Z wird im nächsten Beitrag berechnet, morgen oder so...
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Caban
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Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 3107
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-15
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Hallo
Du musst hier nichts annähern. Du kannst es exakt berechnen. Das Dreieck HH'C lässt sich sehr einfach vollständig bestimmen, da es zwei Radien enthält. H' ist der Spiegelpunkt von H an B. Dadurch kann man mithilfe von Kreissektoren die gesuchten Flächen berechnen.
Gruß Caban
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viertel
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Dabei seit: 04.03.2003
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2020-03-16
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Die Dreiecke sind bekanntermaßen gleichseitig. Damit ergibt sich die restliche Rechnung mit ein bißchen Pythagoras von selbst.
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/1781_Horus-Auge_246257.png
Gruß vom ¼
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Bekell
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Dabei seit: 05.09.2008
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-16
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@ Caban und Viertel
Die Dreiecke sind doch gar nicht gesucht.
Gesucht sind die Flächen, die hier im Bild mit 1/2 und 1/16 bezeichnet sind.
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_0023_-_HorusaugeBld.png
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Bekell
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Dabei seit: 05.09.2008
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-16
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Jetzt zur Fläche Z, dem Krummen Dreieck DHA. Auch hier muß man nicht integrieren, weil die krummen Linien Kreissegmente von jeweils einem eingeschriebenen Sechseck und Zwölfeck sind. Dies ergibt sich aus der Dreiteilung des Winkels.
Ich berechne also ein Dreieck nach Pythagoras und ziehe dann das große Segment ab und rechne das kleine hinzu.
Der Winkel DAH D 30°, die Strecke DA = 1, die Strecke HA ebenfalls 1, HD und die Winkel sind gesucht. Da es ein gleichschenkliges Dreieck ist, dürften die Winkel gleich sein. SWS ist angesagt.
0,518 = HD und die beiden Winkel sind 75°. Die Höhe des Dreiecks ist 0,966. Ergebnis ist die Fläche von 0,518/2 * 0,966 = 0.250, wobei wir die letzte 3 Ziffern abschneiden.
Jetzt noch zu den Segmenten.
1. Segment A (Sechseck) berechnen wir Fläche Kreis - Fläche Sechseck / 6. Kreisfläche = 3,141, Sechseckfläche = 6 * 0,433 = 2,598 .... 3,141 - 2,595 = 0,543 / 6 = 0,0905 ist die Fläche eines Sechsecksegmentes.
2. Segment B (12-eck) berechnen wir Fläche Kreis - Fläche 12-eck / 12. Kreisfläche = 3,141, 12-eckfläche = 12 * 0,25 = 3 .... 3,141 - 3 = 0,141 / 12 = 0,0117 ist die Fläche eines 12-ecksegmentes.
Formel: Dreieck - Sechsecksegment + 12-ecksegment = Fläche Z
0,250 - 0,0905 + 0,0117 = 0,171
Man muß manchmal solche Aufgaben auch numerisch durchziehen, damit man Plausibilität hat.
Die Fläche ist damit etwas kleiner als Pupille (1. Kreis um B) und das Weisse (X), welche beide um die 0,2 sind.
Wer findet Fehler? Einer muß noch drin sein, denn Weisses (X)+ Z muss genauso groß sein, wie halbe Iris + halbe Pupille.
0,785 (Iris-Pupille) / 2 = 0,392 und 0,171+0,206 = 0,377 ...... 0,392-0,377 = 0,015 .. eine Abweichung um 3,82 % Ob die auf den einkalkulierten Fehler beim Herzstück von X zurückgehen?
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Bekell
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-16
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Spasseshalber berechnen wir die weisse Flächen (X) mal nach Viertels Methode.
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_0024_-_HorusaugeNeu.png
Die gesuchte Fläche wären dann die beiden Segmente S + das Dreieck X minus 3 x die kleinen Segmente.
Ein großes Segment ist 0,0905, zwei davon 0,181
Das =seitige Dreieck hat die Fläche von 0,108
0,100+0,181 = 0,289
Davon müssen jetzt noch die drei kleinen 6-ecksegmente abgezogen werden.
Kreis 3,141 * 0,25 = 0,785 Sechseck = 0,648 = 0,137 (6 Segmenten) / 2 weil es 3 Segmente sind = 0,0685, das macht für das gesamte Weisse 0,289 - 0,0685 = 0,2205
Die Fläche ist also größer als mit dem anderen Verfahren berechnet, 0,206. Fast 10 % Das ist natürlich ein bisschen Viel. Ich weiss nicht, ob es daran liegt, daß ich mit zu wenig Stellen gerechnet habe? Immerhin brauchte ich bei dem Verfahren keine Fehler hinnehmen, und trotzdem gilt: Z + (SXS) müssen soviel, wie halbe Pupille + halbe Iris sein.
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
viertel
Senior
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| Beitrag No.6, eingetragen 2020-03-16
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Dir fehlt echt Übung, geometrische Figuren zu sehen 
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/1781_Horus-Auge_B_246257.png
So wird das gerechnet:
$$F_\text{grün/blau}=\frac{2}{6}\pi r^2 \quad \overset{r=1}{\approx} 1.047197551$$
$$F_\text{gelb}=\frac{1}{2}\pi r^2-F_\text{grün/blau}=\frac{1}{6}\pi r^2 \quad \overset{r=1}{\approx} 0.5235987755$$
$$F_\text{grün}=2 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{r}{2}\cdot \sqrt{r^2-(r/2)^2} \right)=\frac{\sqrt{3}}{4}r^2 \quad \overset{r=1}{\approx} 0.4330127018$$
$F_{2Z}$ ist das Doppelte von deinem Z, also die beiden gelben Unterlegkeile:
$$F_{2Z} = F_\text{gelb}-(F_\text{grün/blau}-2 \cdot F_\text{grün})=\frac{3\sqrt{3}-\pi}{6}r^2 \quad \overset{r=1}{\approx} 0.3424266281$$
Der rot umrandete Teil $F_\text{rot}$ ist dann
$$F_\text{rot}=\frac{1}{2}F_\text{grün}-\frac{1}{6} \pi (r/2)^2 = \frac{3\sqrt{3}-\pi}{24}r^2 = \frac{1}{4}F_{2Z} \quad \overset{r=1}{\approx} 0.08560665704$$
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