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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Morphismen abgeschlossener Untervarietäten projektiver Varietäten
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Universität/Hochschule Morphismen abgeschlossener Untervarietäten projektiver Varietäten
Danielvasco
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-20


Hey Leute, ich gerade damit angefangen mich mit Projektiven Varietäten zu beschäftigen und habe folgendes Problem:

Ich schaffe es nicht wirklich klar zu beweisen, dass beispielsweise

$P_{n-1}\simeq V_{P_n}(T_i)$ oder $P_1\simeq V_{P_2}(T_0 T_1-T_{2}^2)$

Mein Problem ist, dass ich immer nur die Morphismen von den projektiven Räumen in die abgeschlossenen Unterräume konstruieren kann. Die Umkehrabbildungen sind zwar klar, aber ich kann nicht zeigen, dass es tatsächlich Morphismen sind.

Ist $\pi:\mathbb{K}^{n+1}\setminus\{0\}\mapsto\ P_n$ die Projektion auf den projektiven Raum und $U\subset P_n$ offen, so erhält man für jeden Morphismus $\phi:\mathbb{K}^{n+1}\setminus\{0\}\mapsto Z$ in eine Varietät Z mit $\phi(tz)=\phi(z)$    $\forall z\in\phi^{-1}(U)\forall t\in\mathbb{K}^{*}$ einen Morphismus $\psi:U\mapsto Z$ sodass $\psi\circ\pi =\phi$.

Gilt die Aussage allgemein auch für abgeschlossene Teilmengen $A\subset P_n$? Damit könnte ich die Morphismen in die andere Richtung konstruieren, aber ich krieg das nicht bewiesen :/

Könnte mir jemand kurz helfen?

Danke euch!



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-10 11:26


Ich gehe davon aus, dass mit $P_n$ hier der projekte Raum $\mathbb{P}^n$ gemeint ist. Es gibt verschiedene Definition dieses Raumes bzw. von Varietäten überhaupt. Ich gehe davon aus, dass du hier mit der klassischen Definition arbeitest und ein algebraisch abgeschlossener Grundkörper zugrunde liegt.

Ein Isomorphismus $\varphi : \mathbb{P}^{n-1} \to V_{\mathbb{P}^n}(T_i)$ ist zum Beispiel $[x_0:\cdots:x_{n-1}] \mapsto [x_0:\cdots:x_{i-1}:0:x_i:\cdots:x_{n-1}]$. Die Umkehrabbildung ist $\varphi^{-1} : [x_0:\cdots:x_{i-1}:0:x_i:\cdots:x_{n-1}] \mapsto [x_0:\cdots:x_{n-1}]$. Das hast du vermutlich bereits erkannt. Es ist nur noch zu zeigen, dass $\varphi$ und $\varphi^{-1}$ Morphismen von Varietäten sind.
 
Zur Erinnerung, hier die klassische Definition, wie man sie etwa im Buch von Hartshorne findet: Wenn $X,Y$ Varietäten sind und $\varphi : X \to Y$ eine Abbildung ist, so ist $\varphi$ ein Morphismus, wenn für jede offene Menge $V \subseteq Y$ das Urbild $\varphi^{-1}(V) \subseteq X$ offen ist (also $\varphi$ stetig ist) und für jede reguläre Funktion $s : V \to k$ die Funktion $s \circ \varphi : \varphi^{-1}(V) \to k$ ebenfalls regulär ist.
 
Hieraus ergibt sich relativ leicht, dass man Morphismen miteinander "verkleben" kann: Sei $\varphi : X \to Y$ eine Abbildung wie oben. Es gebe eine offene Überdeckung $Y = \bigcup_i Y_i$ und für jedes $i \in I$ sei $\varphi^{-1}(Y_i) \subseteq X$ offen und die induzierte Abbildung $\varphi_i : \varphi^{-1}(Y_i) \to Y_i$ sei ein Morphismus. Dann ist auch $\varphi$ ein Morphismus. Außerdem gilt: Wenn alle $\varphi_i$ Isomorphismen sind, dann ist auch $\varphi$ ein Isomorphismus.
 
Außerdem wissen wir, wie man Morphismen in affine Varietäten beschreiben kann: Eine Abbildung $\varphi : X \to Y$ in eine affine Varietät $Y \subseteq \mathbb{A}^n$ ist genau dann ein Morphismus, wenn für jede Koordinatenfunktion $p_i : Y \to k$ die Komposition $p_i \circ \varphi : X \to k$ regulär ist (also kurz gesagt lokal durch eine rationale Funktion beschrieben werden kann; im projektiven Fall muss man noch Homogenität und Grad $0$ fordern).
 
Der projektive Raum $\mathbb{P}^n$ wird bekanntlich von den affinen Varietäten $ \mathbb{P}^n_k := \{x_k \neq 0\} \cong \mathbb{A}^n$ (mit $0 \leq k \leq n$) überdeckt; der Isomorphismus ist hier $[x_0:\dotsc:x_n] \mapsto (x_0/x_k,\dotsc,x_n/x_k)$ (ohne $x_k/x_k$).
 
Diese Resultate zusammen ermöglichen es in einfachen Beispielen, Morphismen zwischen projektiven Varietäten zu beschreiben.

Die Untervarietät $V_{\mathbb{P}^n}(T_i) = \{x_i = 0\}$ von $\mathbb{P}^n$ wird von den affinen Varietäten $V_{\mathbb{P}^n}(T_i) \cap \mathbb{P}^n_k = \{x_k \neq 0,\, x_i = 0\} \cong \mathbb{A}^{n-1}$ (mit $k \neq i$) überdeckt; der Isomorphismus ist hier wieder $[x_0:\dotsc:x_n] \mapsto (x_0/x_k,\dotsc,x_n/x_k)$, wobei man sowohl $x_k/x_k$ als auch $x_i/x_k$ auslässt.

Mit der Definition von $\varphi : \mathbb{P}^{n-1} \to V_{\mathbb{P}^n}(T_i)$ oben sieht man:

Für $k < i$ gilt $\varphi^{-1}(V_{\mathbb{P}^n}(T_i) \cap \mathbb{P}^n_k) = \mathbb{P}^{n-1}_k$.

Für $k > i$ gilt $\varphi^{-1}(V_{\mathbb{P}^n}(T_i) \cap \mathbb{P}^n_k) = \mathbb{P}^{n-1}_{k-1}$.
 
Das Urbild ist also in jedem Fall offen, und wir müssen nur noch zeigen, dass die induzierte Abbildung $\mathbb{P}^{n-1}_{k \text{ bzw. } k-1} \to V_{\mathbb{P}^n}(T_i) \cap \mathbb{P}^n_k$ ein Isomorphismus ist. Benutzen wir die bereits erwähnten Isomorphismen zu affinen Räumen, so wird daraus eine Abbildung $\mathbb{A}^{n-1} \to \mathbb{A}^{n-1}$. Geht man die Definitionen durch, so ist das aber gerade die Identität, und damit ein Isomorphismus.

Damit wäre $\mathbb{P}^n \cong V_{\mathbb{P}^n}(T_i)$ gezeigt. Wenn man andere Definitionen von Varietäten nimmt, gibt es übrigens noch elegantere Beweise dafür.

Für den Isomorphismus $\mathbb{P}^1 \cong V_{\mathbb{P}^2}(T_0 T_1 - T_2^2)$ kann man dieselbe Methode mit dem Verkleben verwenden. Wir nehmen die Abbildung $\varphi : [x_0:x_1] \mapsto [x_0^2 : x_1^2 : x_0 x_1]$. Die projektive Varietät $V_{\mathbb{P}^2}(T_0 T_1 - T_2^2)$ überdecken wir mit den affinen Varietäten

$V_{\mathbb{P}^2}(T_0 T_1 - T_2^2) \cap \mathbb{P}^2_0 \cong V_{\mathbb{A}^2}(T_1 - T_2^2) \cong \mathbb{A}^1, \, [x_0:x_1:x_2] \mapsto x_2/x_0,$

$V_{\mathbb{P}^2}(T_0 T_1 - T_2^2) \cap \mathbb{P}^2_1 \cong V_{\mathbb{A}^2}(T_0 - T_2^2) \cong \mathbb{A}^1, \, [x_0:x_1:x_2] \mapsto x_2/x_1.$
 
(Beachte, dass wir $\mathbb{P}^2_2$ weglassen können, weil aus $x_2 \neq 0$ wegen der Gleichung $x_2^2 = x_0 x_1$ bereits $x_0 \neq 0$ und $x_1 \neq 0$ folgt.)

Die Urbilder bezüglich $\varphi$ sind offenbar $\mathbb{P}^1_0 \cong \mathbb{A}^1$ und $\mathbb{P}^1_1 \cong \mathbb{A}^1$. Die Einschränkung $\varphi_0 : \mathbb{P}^1_0 \to V_{\mathbb{P}^2}(T_0 T_1 - T_2^2) \cap \mathbb{P}^2_0$ von $\varphi$ identifiziert sich dabei mit der folgenden Abbildung $\mathbb{A}^1 \to \mathbb{A}^1$:

$x_1 \mapsto [1:x_1] \mapsto [1:x_1^2 : x_1] \mapsto x_1 / 1 = x_1.$

Es handelt sich also wieder um die Identität und daher um einen Isomorphismus. Die Rechnung für $\varphi_1$ geht genauso.

PS: Vielleicht liest du das ja noch, weil du per Mail benachrichtigt wirst.



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