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  Polynomring und formaler Potenzreihenring (Verständnisfrage) |
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Marie97
Aktiv 
Dabei seit: 16.07.2018
Mitteilungen: 67
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Definition: Formaler Potenzreihenring
Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Ist $a_{k} \in R$ für $k \in \mathbb{N}$, so bezeichnen wir die Funktion $\mathbb{N} \rightarrow R: k \mapsto a_{k}$
durch den Ausdruck $\sum\limits_{k = 0}^{\infty} a_{k} \cdot t^{k}$, so dass $R[[t]]:= \left \{ \sum\limits_{k = 0}^{\infty} b_{k} \cdot t^{k} \; \vert \; b_{k} \in R \right \}$
die Menge aller Funktionen von $\mathbb{N} \rightarrow R$ bezeichnet.
Wir nennen die Elemente von $R[[t]]$ formale Potenzreihen, und $R[[t]]$ heißt der Ring der formalen Potenzreihen über $R$ in der Unbestimmten $t$.
Definition: Polynomring
Ist $R$ ein kommutativer Ring, so nennen wir
$R[t] := \left \{ \sum\limits_{k = 0}^{\infty} a_{k} \cdot t^{k} \in R[[t]]\; \vert \; \text{nur}\; \text{endlich}\; \text{viele}\; a_{k}\; \text{sind}\; \text{ungleich}\; \text{Null} \right \} = \left \{ \sum\limits_{k = 0}^{\infty} a_{k} \cdot t^{k} \in R[[t]]\; \vert \; n \in \mathbb{N}, a_{0}, \ldots, a_{n} \in R \right \}$
den Polynomring über $R$ in der Unbestimmten $t$ und die Elemente von $R[t]$ heißen Polynome.
Zu diesen beiden Definitionen habe ich ein paar Fragen.
1) Die erste Definition verwirrt mich etwas. Ich weiß nicht wirklich, wie die obige Abbildung konkret aussieht.
Was meint man mit
"so bezeichnen wir die Funktion $\mathbb{N} \rightarrow R: k \mapsto a_{k}$ durch den Ausdruck $\sum\limits_{k = 0}^{\infty} a_{k} \cdot t^{k}$ " ?
Kann man diesen Satz nicht als eine ganze Abbildung zusammenfassen ? Ich verstehe den Satz irgendwie nicht.
2) Worin unterscheiden sich der formale Potenzreihenring und der Polynomring ?
So wie ich das verstanden habe, ist $R[t]$ eine echte Teilmenge von $R[[t]]$, dass nur die Polynome enthält $\sum\limits_{k = 0}^{\infty} a_{k} \cdot t^{k}$, bei denen nur endlich viele $a_{k}$ ungleich Null sind.
Das heißt, $R[t]$ enthält nur endliche Polynome.
Das heißt, dass $R[[t]]$ und $R[t]$ sich dadurch unterscheiden, dass $R[[t]]$, im Gegensatz zu $R[t]$, zusätzlich noch unendliche Polynome enthält.
Kann man das so sagen ?
Und gibt es weitere wichtige Unterschiede?
Bedanke mich schon mal Voraus!
lg, Marie
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wladimir_1989
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Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1308
Aus: Freiburg
|      Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-25
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Hallo Marie97,
Zur 1. Frage:
Formale Potenzreihen sind eindeutig durch die Folge der Koeffizienten also eine Funktion \(\mathbb{N} \to R,\ \ k \mapsto a_k\) gegeben. Das Symbol \(\sum_{k=0}^\infty a_k\, t^k\) ist hier einfach ein Name für diese Koeffizientenfolge. Beachte, dass das Summationszeichen und auch \(t^k\) hier im Grunde einfach Teile von diesem Symbol und keine eigenständigen Objekte sind. Daher ergibt es keinen Sinn, z.B. über die Konvergenz der Reihe zu reden oder darüber, welche Werte \(t\) annehmen kann.
Zur 2. Frage: du hast es richtig verstanden. Nur eine kleine Anmerkung: es gibt keine unendlichen Polynome, diese haben per Definition immer einen endlichen Grad.
lg Wladimir
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helmetzer
Senior 
Dabei seit: 14.10.2013
Mitteilungen: 1453
| Beitrag No.2, eingetragen 2020-03-25
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Man sollte vielleicht noch ergänzen, dass eben auch eine Multiplikation erklärt ist und somit die erwähnte Schreibweise schon mit der gewohnten Multiplikation von Polynomen "verträglich" ist, etwa:
\((1 + t + t^2 + \dots)*t = t + t^2 + t^3 + \dots\)
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5876
Aus: Milchstraße
 | Beitrag No.3, eingetragen 2020-03-25
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Hallo Marie97,
2020-03-24 23:45 - Marie97 im Themenstart schreibt:
$\left \{ \sum\limits_{k = 0}^{\infty} a_{k} \cdot t^{k} \in R[[t]]\; \vert \; n \in \mathbb{N}, a_{0}, \ldots, a_{n} \in R \right \}$
Hier sollte besser $\left \{ \sum\limits_{k = 0}^n a_{k} \cdot t^{k} \; \vert \; n \in \mathbb{N}, a_{0}, \ldots, a_{n} \in R \right \}$ stehen.
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Marie97
Aktiv
Dabei seit: 16.07.2018
Mitteilungen: 67
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-29
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Hallöchen, dankeschön für eure Hilfsbereitschaft🙂
2020-03-25 00:04 - wladimir_1989 in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo Marie97,
Zur 1. Frage:
Formale Potenzreihen sind eindeutig durch die Folge der Koeffizienten also eine Funktion \(\mathbb{N} \to R,\ \ k \mapsto a_k\) gegeben. Das Symbol \(\sum_{k=0}^\infty a_k\, t^k\) ist hier einfach ein Name für diese Koeffizientenfolge. Beachte, dass das Summationszeichen und auch \(t^k\) hier im Grunde einfach Teile von diesem Symbol und keine eigenständigen Objekte sind. Daher ergibt es keinen Sinn, z.B. über die Konvergenz der Reihe zu reden oder darüber, welche Werte \(t\) annehmen kann.
ich verstehe es leider immer noch nicht🤔
Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und $a_{k} \in R$ für $k \in \mathbb{N}$.
Die Abbildung $\mathbb{N} \rightarrow R: k \mapsto a_{k}$ beschreibt eine Folge $(a_{k})_{k \in \mathbb{N}}$
Und diese Folge bezeichnet man dann mit $\sum\limits_{k = 0}^{\infty} a_{k} \cdot t^{k}$ ?
Also $\sum\limits_{k = 0}^{\infty} a_{k} \cdot t^{k} = (a_{k})_{k \in \mathbb{N}}$.
Warum gibt man dieser Folge so einen Namen ? Das ist doch extrem verwirrend.
Oder verstehe ich etwas falsch ?
2020-03-25 00:04 - wladimir_1989 in Beitrag No. 1 schreibt:
Zur 2. Frage: du hast es richtig verstanden. Nur eine kleine Anmerkung: es gibt keine unendlichen Polynome, diese haben per Definition immer einen endlichen Grad.
Stimmt, danke👍
2020-03-25 07:31 - helmetzer in Beitrag No. 2 schreibt:
Man sollte vielleicht noch ergänzen, dass eben auch eine Multiplikation erklärt ist und somit die erwähnte Schreibweise schon mit der gewohnten Multiplikation von Polynomen "verträglich" ist, etwa:
\((1 + t + t^2 + \dots)*t = t + t^2 + t^3 + \dots\)
2020-03-25 10:37 - StrgAltEntf in Beitrag No. 3 schreibt:
Hallo Marie97,
2020-03-24 23:45 - Marie97 im Themenstart schreibt:
$\left \{ \sum\limits_{k = 0}^{\infty} a_{k} \cdot t^{k} \in R[[t]]\; \vert \; n \in \mathbb{N}, a_{0}, \ldots, a_{n} \in R \right \}$
Hier sollte besser $\left \{ \sum\limits_{k = 0}^n a_{k} \cdot t^{k} \; \vert \; n \in \mathbb{N}, a_{0}, \ldots, a_{n} \in R \right \}$ stehen.
Dankeschön für die Ergänzung😁
lg, Marie
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5876
Aus: Milchstraße
| Beitrag No.5, eingetragen 2020-03-29
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2020-03-29 15:20 - Marie97 in Beitrag No. 4 schreibt:
Die Abbildung $\mathbb{N} \rightarrow R: k \mapsto a_{k}$ beschreibt eine Folge $(a_{k})_{k \in \mathbb{N}}$
Und diese Folge bezeichnet man dann mit $\sum\limits_{k = 0}^{\infty} a_{k} \cdot t^{k}$ ?
Also $\sum\limits_{k = 0}^{\infty} a_{k} \cdot t^{k} = (a_{k})_{k \in \mathbb{N}}$.
Warum gibt man dieser Folge so einen Namen ? Das ist doch extrem verwirrend.
Das mag erst mal verwirrend sein. Aber beachte Beitrag #2 von Helmetzer: Du kannst formale Potenzreihen miteinander multiplizieren (und natürlich auch addieren), so wie du es von "herkömmlichen" Potenzreihen gewohnt bist. In #2 also
(1,1,1,...)*(0,1,0,0,0,...) = (0,1,1,1,...)
Oder eben einfacher:
\((1+1\cdot t+1\cdot t^2+...)*(1\cdot t)=1\cdot t+1\cdot t^2+1\cdot t^3+...\)
Du rechnest also ganz normal mit Potenzreihen, nur dass du für t keine Zahlen einsetzten darfst.
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