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 Extrinsische Krümmung im Falle der Israel-Sprungbedingungen |
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Bl4cky
Junior 
Dabei seit: 29.03.2020
Mitteilungen: 5
 |  Themenstart: 2020-03-29
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Hallo allerseits,
das hier ist mein erster Post in diesem Forum, deshalb verzeiht mir, wenn ich hier nicht die richtige Unterkategorie erwischt haben sollte. Ich war mir selber nicht sicher, ob ich das ganze unter Physik oder Mathe irgendwo posten sollte. ^^ Ich bin ein Leser im Endeffekt seit meinem ersten Semester im Studium, aber erst jetzt melde ich mich mal persönlich. ^^
Also:
Die Ausgangslage sind die von Israel oder Darmois aufgestellten Sprungbedingungen an einer Hyperfläche in der allgemeinen Relativitätstheorie. Wegen der Gauß-Codazzi Gleichungen folgt aus diesen Bedingungen, dass die Unstetigkeit des Einsteintensors in seiner Normal-Normal-Komponente und seiner Normal-Tangential-Komponente verschwinden muss.
Aber wenn man sich diese Sprungbedingungen unter einem Signaturwechsel anschaut, sehen diese sogenannten Israelidentitäten anders aus:
\[\begin{align}
[G_{nn}] &= -^{(3)}R,\\
[G_{na}] &= 0, \\
[G^{nn}]&= - ^{(3)}R ,\\
[G^n_n] &= K^2 - K_{ab}K^{ab},\\
[G^a_n] &= 0 ,\\
[G^{na}] &= 2(K^{ab}_{|b} - h^{ab}K_{|b}),\\
[G^n_a] &= 2(K^b_{a|b} - K_{|a}).
\end{align}\]
Das nennen manche Autoren auch "Modifizierte Israel Identitäten".
Die eckigen Klammern sind ein Maß für Unstetigkeit, so wie es bei den Israel-Papern beispielsweise üblich ist. \[^{(3)}R \] ist der dreidimensionale Ricci-Skalar an der Hyperfläche, K ist die Spur der extrinsischen Krümmung und \[K_{ab}\] ist eben die extrinsiche Krümmung. \[h_{ab}\] ist die, auf die Hyperfläche projizierte Metrik. Und \[K_{|a}\] notiert die kovariante Ableitung auf der Hyperfläche. Allerdings ist das alles für meine Frage (denke ich) relativ irrelevant, ich wollte euch nur einmal sagen, woher ich komme.
Es ist offensichtlich, dass wenn all das Null ist, der Ricci-Skalar verschwinden muss. Das will ich natürlich nicht, denn das schließt so ziemlich alle physikalischen Modelle des Kosmos aus. Stattdessen will ich eigentlich nur fordern, dass die Terme mit der extrinsischen Krümmung verschwinden, am liebsten sogar nur, dass \[K^2 - K_{ab}K^{ab} = 0 \] allerdings stehe ich hier auf dem Schlauch. Ich habe in mehreren Papern zu dem Thema gelesen, dass allein aus dieser Gleichung folgen soll, dass die extrinsische Krümmung verschwinden muss. Nur geben diese Autoren weder eine Referenz dazu an, noch sagen sie, wieso es so ist. "Es ist einfach so" anscheinend. Meine Frage ist also: Ist das denn so? Und wenn ja, wieso?
Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen, und ich hoffe ich stehe nicht zu sehr auf dem Schlauch.
Mit freundlichen Grüßen,
Bl4cky
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Bl4cky
Junior 
Dabei seit: 29.03.2020
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-29
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Hallo nochmals,
ich bin mir nicht ganz sicher, aber ich glaube ich habe selber eine Lösung gefunden. Vielleicht kann jemand drüber schauen und mir sagen, ob es so sinnvoll ist.
Also es ist ja:
\[h_{ab}K^{ab} = K \]
das heißt, wenn ich Gleichung (4) null setze, sehe ich erstmal:
\[K^2 - K^{ab}K_{ab} = 0. \]
Soweit so einfach ^^ Jetzt multipliziere ich die Metrik $h_{ab}$ dran und erhalte:
\[\begin{align*}
h_{ab}K^2 - h_{ab}K^{ab}K_{ab} &= 0\\
h_{ab}K^2 - KK_{ab} &=0
\end{align*}\]
Davon nehme ich jetzt die Spur und es folgt:
\[3K^2 - K^2= 0 \quad \Leftrightarrow \quad K^2= 0\]
Das folgt, da die Metrik $h_{ab}$ ja die dreidimensionale Metrik auf der Hyperfläche ist.
Eingesetzt in die Ausgangsgleichung folgt daraus, dass auch die extrinsische Krümmung selbst verschwinden muss. Nicht nur ihre Spur: \[K_{ab}\equiv 0. \]
Hätte jemand die Zeit, mir kurz zu schreiben, ob das was ich hier mache sinnvoll ist, oder ob ein zu Grunde gelegendes Problem einen oder mehrere der Rechenschritte verhindert?
Vielen Dank und mit freundlichen Grüßen,
Blacky
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doglover
Senior
Dabei seit: 20.02.2015
Mitteilungen: 342
 | Beitrag No.2, eingetragen 2020-03-30
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Hallo Bl4cky,
und herzlichen Willkommen auf dem Matheplaneten!
Ich habe es nur überfolgen und evtl. verstehe ich die Gleichung nicht ganz, aber in dem Ausdruck
$K^2-K_{ab}K^{ab}=0$
wird doch die Einstein'sche Summenkonvention verwendet oder? Dann kannst du nicht einfach mit $h_{ab}$ multiplizieren, sondern nur mit $h_{ij}$ für feste Indizes $i,j$ und gegebenenfalls noch die Summe über diese Indizes bilden. Aber dann darf man nicht einfach die Summen umordnen wie du es getan hast um aus $h_{ij}K^{ab}K_{ab}$ den Ausdruck $K K_{ab}$ zu machen.
Viele Grüße
doglover
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Bl4cky
Junior
Dabei seit: 29.03.2020
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-30
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Ja ich verwende hier die Einsteinsche Summenkonvention.
Sehe ich ein, das funktioniert so dann natürlich nicht. Habe ich gestern Nacht irgendwie gar nicht drauf geachtet.
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| Bl4cky hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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