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Autor |
Lemma von Urysohn stetig fortsetzen |
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Math_user
Aktiv  Dabei seit: 04.05.2019 Mitteilungen: 558
Herkunft: Deutschland
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Moin zusammen
Ich stecke wieder einmal fest. Sei $(X, \rho)$ ein metrischer Raum und $A,B \subset X$, wobei $A,B$ abgeschlossen und disjunkt sind. Ich soll nun zeigen, dass eine stetige Funktion $f: X \to \Bbb R$ existiert $f_{\big| A}=0$ und $f_{\big| B}=1$. Diese Aufgabe ist quasi das Lemma von Urysohn, jedoch müsste ich meine Funktion ja stetig fortsetzen, aber wie?
Kann mir jemand weiterhelfen?
Gruss
Math_user
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Nuramon
Senior  Dabei seit: 23.01.2008 Mitteilungen: 2517
 |     Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-29
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}\)
Hallo,
wenn du das Lemma von Urysohn verwenden kannst, dann reicht es doch aus zu prüfen, ob die Voraussetzungen hier erfüllt sind. Also musst du zeigen, dass metrische Räume normal sind.
Vielleicht hilft dir als Tipp, dass für abgeschlossene Teilmengen $A$ eines metrischen Raumes $X$ und jeden Punkt $x\in X\setminus A$ gilt $dist(x,A)>0$.
\(\endgroup\)
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Math_user
Aktiv  Dabei seit: 04.05.2019 Mitteilungen: 558
Herkunft: Deutschland
 |     Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-29
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2020-03-29 16:49 - Nuramon in Beitrag No. 1 schreibt:
wenn du das Lemma von Urysohn verwenden kannst, dann reicht es doch aus zu prüfen, ob die Voraussetzungen hier erfüllt sind. Also musst du zeigen, dass metrische Räume normal sind.
Ich bin eben verwirrt, da ich das Lemma verwenden darf und ich auch weiss dass metrische Räume normal sind, sprich da muss man nichts mehr machen oder?
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Nuramon
Senior  Dabei seit: 23.01.2008 Mitteilungen: 2517
 |     Beitrag No.3, eingetragen 2020-03-29
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In dem Fall musst du wohl wirklich nichts weiter machen.
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