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 Numerisches Lösen der Diffusionsgleichung (Partielle DGL) |
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st3fan85
Neu 
Dabei seit: 04.04.2020
Mitteilungen: 2
 |  Themenstart: 2020-04-04
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Hallo liebe Forum-Mitglieder,
ich bin gerade dabei mich in Matlab einzuarbeiten aber nicht sicher, ob das Thema hier oder eher doch in den Numerik-Bereich reingehört.
Da ich mich im Moment mit Diffusion beschäftige wollte ich versuchen mit Matlab die Diffusionsgleichung: \ pdiff(c,t)(x,t) = D pdiff(c,x,2)(x,t)
Numerisch zu lösen. Ich habe die gewählt, da ich die analytischen Lösungen habe und daher die numerische damit vergleichen könnte.
Mein Problem ist jetzt, dass in den Büchern immer davon ausgegangen wird, dass es eine Anfangsbedingen bei t=0 und eine Randbedingung bei x=0 gegeben ist.
Ich habe allerdings immer nur eine Anfangsbedingung bei t=0 oder eine Randbedingung bei x=0 und jeweils eine analytische Lösung:
\
AB: c(x,0)= M \delta(x) \textrightarrow c(x,t)=M/sqrt(\pi D t) exp(- x^2/(4Dt))
\
RB: c(0,t)= M = const. \textrightarrow c(x,t)=M erfc(x/(2sqrt(Dt)))
Meistens wird über die Matlap-Funktion "pdepe" oder über die Diskretisierung der PDG geschrieben. Wie oben geschrieben, wird hier immer von Bedingungen für x und t ausgegangen.
Habt Ihr vielleicht einen Tipp oder eine Buch-/Text- Empfehlung für mich, um an das Problem ran zu gehen?
Vielen Dank und Grüße
Stefan
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AnnaKath
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Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3756
Wohnort: hier und dort (s. Beruf)
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-04
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Hallo Stefan und herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!
Die PDE, die Du betrachtest, ist wohl etwas besser bekannt als (eindimensionale, homogene) Wärmeleitungsgleichung. Als solche ist sie der Prototyp einer parabolischen Differentialgleichung. Und für solche sind Anfangsrandwertprobleme (ARWP) die korrekt gestellte Problemform. So verwundert es auch nicht, dass Du in der Literatur regelmäßig auf solche ARWP triffst.
Die analytische Lösung, die Du zunächst angibst, also $c(x,t)= M (\pi D t)^{-\frac{1}{2}} \exp \left ( - \frac{x^2}{4 D t} \right )$, ergibt sich als Lösung des so genannten Cauchy-Problems, bei dem die (homogenen Dirichlet-)Randbedingungen sozusagen "im Unendlichen" liegen. Insofern sind hier keine expliziten Randbedingungen gegeben, die Gleichung wird ja auch nicht auf einem beschränkten Gebiet sondern auf ganz $\mathbb{R}$ (für die Ortskoordinate $x$) betrachtet.
Für solche Cauchy-Probleme gibt es eine recht nette Theorie klassischer Lösungen; so hat man etwa für die Anfangsbedingung $c(x, 0) = c_0(x)$ für alle $x\in\mathbb{R}$ die Lösung $c(x,t) = (F \star c_0)(x,t)$, wobei $\star$ die Faltung meint und $F(x,t) = (4 \pi D t)^{-\frac{1}{2}} \exp \left ( - \frac{x^2}{4 D t} \right )$ die so genannte Fundamentallösung der Gleichung bezeichnet.
In Deinem Falle ist also das angegebene $c$ die Lösung der Wärmeleitungsgleichung mit der Anfangsbedingung $c(x,0)=c_0(x)=2 M \delta(x)$ dar.
lg, AK.
PS. Die zweite Lösung bezieht sich auf ein Problem, bei dem nur eine der Randbedingungen bei $+\infty$ liegt und die andere bei $x=0$. Ohne, dass ich das jetzt nachgerechnet habe, dürfte es die Lösung zum Problem mit $c_0(x)=M \delta(x)$ und $c(0,t)=1$ sein.
Und als PPS. Du hast die Frage im Matlab-Forum gestellt. Bezüglich dieses Systems werde ich Dir nicht helfen können (und hoffe da auf Unterstützung Anderer)...
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st3fan85
Neu
Dabei seit: 04.04.2020
Mitteilungen: 2
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-04
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Danke für die nette Begrüßung und die Antwort.
Ich stecke gerade in der Zwickmühle nicht zu wissen was meine nächste Frage ist.
Verstehe ich es richtig, dass für eine numerische Lösung dieser PDG Anfangswerte bei c(x=0,t) und c(x,t=0) unbedingt gebraucht werden?
Die Anfangswerte die ich im ersten Beitrag angeben habe stehen für zwei unterschiedliche physikalische Situationen:
Wir haben einen Kristall auf dem Material aufgebracht wird und durch Diffusion dringen Atome in den Kristall ein.
Situation 1: (Im ersten Beitrag RB)
Es wird eine dicke Schicht Material auf den Kristall aufgebracht, sodass das aufgebrachte Material am Ort x=0 sich nicht verringert. Dies führt zu den Anfangswerten:
\(c(x=0,t)= M\) und \(c(x,t=0)= M \delta(x)\)
Situation 2: (Im ersten Beitrag AB)
Es wird eine dünne Schicht Material auf den Kristall aufgebracht, sodass das aufgebrachte Material am Ort x=0 sich mit der Zeit verringert. Dies führt zu den Anfangswert:
\(c(x,t=0)= M \delta(x)\)
Allerdings fällt mir für den Fall \(c(x=0,t)\) kein Anfangswert ein.
Zumindest für Situation 1 müsste man doch jetzt eine numerische Lösung der PDG ansetzen können. Ich versuche mein programmiertechnisches Können aus und gucke was dabei rauskommt.
Viele Grüße
Stefan
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Delastelle
Senior
Dabei seit: 17.11.2006
Mitteilungen: 2320
 | Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-05
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Hallo st3fan85!
Ich habe schon viel mit Matlab gearbeitet - aber bisher keine
partielle Differentialgleichung numerisch gelöst.
Eventuell hilft folgender Link:
https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_numerischer_Verfahren#Numerik_partieller_Differentialgleichungen
Viele Grüße
Ronald
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