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 Stetigkeit an geladener Grenzfläche |
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pkcs
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Dabei seit: 04.04.2020
Mitteilungen: 4
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Hallo zusammen,
ich kämpfe seit mehreren Tagen mit dem Kapitel "flächenhaft verteilte Ladungen und Dipole/ Unstetigkeiten des E-Feldes und seines Potentials" im Jackson. Hier wird eine (unendlich dünne) Fläche mit Flächenladung $\sigma(x)$ angenommen und die elek. Felder $E_1$ auf der einen und $E_2$ auf der anderen Seite der Fläche benannt. Dann wird die Unstetigkeit der Normalkomponente des E-Feldes an dieser Grenzfläche mit der Beziehung $(E_2-E_1)\cdot \textbf{n}=\frac{\sigma}{\epsilon_0}$ hergeleitet. (n bezeichnet die Flächennormale)
Die Herleitung kann ich schrittweise nachvollziehen, aber mit dem Ergebnis komme ich nicht klar. In der Formel betrachte ich doch die Felder für infinitesimale Abstände von der Oberfläche. Hier aber müssten die Felder doch gegen unendlich gehen. Wie kann also ein Sprung von $\frac{\sigma}{\epsilon_0}$ beim durchqueren der Fläche stattfinden?. Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen, ich konnte in keinen Foren oder Skripten eine Antwort finden.
VG,
PKCS
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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1784
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-04
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Hallo pkcs,
2020-04-04 14:18 - pkcs im Themenstart schreibt:
Hier aber müssten die Felder doch gegen unendlich gehen.
Wie kommst du auf diese Idee?
Eine Flächenladung ist nicht so singulär, dass das Feld divergiert. Für eine Ladung mit einem $d$-dimensionalen Träger ($d=3$ ist eine Raumladung, $d=0$ eine Punktladung) verhält sich das elektrische Feld mit dem Abstand $r$ von dieser Ladung nach dem Gaußschen Gesetzt wie$$
E\sim{r^d\over r^2}=r^{d-2} \;.
$$Es divergiert also nur für Punkt- und Linienladungen.
--zippy
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pkcs
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Dabei seit: 04.04.2020
Mitteilungen: 4
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-04
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Hallo Zippi, danke für die schnelle Antwort. Davon war im Jackson leider nirgendwo die Rede. Ich habe versucht vom Gauß'schen Satz auf deine Formel zu kommen, aber komme nicht drauf. Auch mit dem Ansatz $E\propto \int \rho (x)\cdot \frac{1}{(x_0-x)^2} dx$ komme ich nicht auf deine Formel.Ich hätte für gelade Fläche z.B. $\rho$ durch $\sigma$ ersetzt und dann erst über $x_1$ und dann $x_2$ integriert ($x_3$ konstant wenn die Ebene einfach gewählt wird),aber dann kommen enendlich lange Terme raus. Übersehe ich etwas offensichtliches?
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traveller
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Mitteilungen: 2629
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-04
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2020-04-04 17:08 - pkcs in Beitrag No. 2 schreibt:
Davon war im Jackson leider nirgendwo die Rede. Das ist schwer zu glauben (ich besitze den Jackson jedoch nicht), irgendwo muss er das benutzte $E=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ doch herleiten? Vielleicht verwirrt einfach nur zippys sehr allgemeine Formel, aber suche mal nach den $E$-Felder einer unendlich ausgedehnten homogenen Linienladung bzw. einer unendlich ausgedehnten homogen geladenen Ebene. Das sind absolute Standardprobleme, dafür dürftest du auch hier im Forum und im restlichen Internet zahlreiche Beiträge finden.
Man kann dies auf zwei Arten rechnen, entweder direkt per eher mühsamer Integration (sinnvolle Parametrisierung wählen!) oder aufgrund der hohen Symmetrie sehr einfach mit dem Gaußschen Gesetz.
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wladimir_1989
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Dabei seit: 23.12.2014
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Herkunft: Freiburg
| Beitrag No.4, eingetragen 2020-04-04
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Hallo pkcs,
die Formel beschreibt einfach die Idee, dass das elektrische Feld eines geladenen Volumens sich ungefähr wie \(E\sim \frac{Q}{r^2}\), verhält, was man tatsächlich aus dem Gaußschen Gesetz erhält. Wenn das Volumen homogen geladen ist, ist die Ladung proportional zum Volumen. Das Volumen eines d-dimensionalen Körpers verhält sich aber wie \(r^d\). Beachte, dass das alles nur Proportionalitäten und keine exakten Formeln sind
lg Wladimir
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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pkcs
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Dabei seit: 04.04.2020
Mitteilungen: 4
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-04
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Hallo zusammen,
top, jetzt habe ich alles verstanden. wladimirs Argumentation leuchtet mir ein. Das E-Feld einer unendlich ausgedehnten, ungekrümmten, homogen geladenen Fläche ist $\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\, \textbf{n}$. Lokal gilt das also auch für beliebig geartete Flächen. Der "Sprung" $\frac{\sigma}{\epsilon_0}$ ist dann einfach der Richtungswechsel des Feldes, oder?
vg,
pkcs
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
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wladimir_1989
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Mitteilungen: 1383
Herkunft: Freiburg
| Beitrag No.6, eingetragen 2020-04-05
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Hallo pkcs,
2020-04-04 18:12 - pkcs in Beitrag No. 5 schreibt:
Der "Sprung" $\frac{\sigma}{\epsilon_0}$ ist dann einfach der Richtungswechsel des Feldes, oder?
vg,
pkcs
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
Ja.
lg WLadimir
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