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  Wohldefiniertheit der Addition natürlicher Zahlen |
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Jannik_S
Junior 
Dabei seit: 05.04.2020
Mitteilungen: 14
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Hallo liebe Matheplanet-Community,
dies hier ist meine erste Frage. Ich hoffe, ich habe das richtige Forum getroffen. ;)
Ich habe mich in den Semesterferien mit einigen grundlegenden Themen beschäftigt und bin dabei über Wohldefiniertheit gestolpert. Falls ich das Ganze richtig verstehe, muss man immer dann, wenn man eine Abbildung definiert, beweisen, dass diese wohldefiniert ist. Das heißt:
1.) Beweisen, dass jeder Funktionswert im Zielbereich der Abbildung liegt
2.) Beweisen, dass der Funktionswert für das gleiche Argument auch gleich ist
Ich möchte das Ganze nun für die Addition zweier natürlicher Zahlen tuen. Hierbei beziehe ich mich auf die Peanoaxiome und die Definition der Addition nach Peano:
  
f: \IN\cross\ \IN \textrightarrow \IN, (a, b)|->a+b a+0:=a a+b':=(a+b)'
Teil 1.) habe ich geschafft. Ich denke, dass sollte so passen:
\stress\ Vor.: \normal\ Seien a,b \el\ \IN beliebig. \stress\ Beh.: \normal\ a+b\el\ \IN. \stress\ Bew.: \normal\ Per vollständiger Induktion nach b\el\ \IN. \stress\ IA(b=0): \normal\ a+b=a+0=a\el\ \IN nach Vor. \stress\ IV: \normal\ a+b\el\ \IN gelte für ein festes aber beliebiges b\el\ \IN. \stress\ IS(n|->n'): z.z.: \normal\ a+b'\el\ \IN. a + b' = (a+b)'\el\ \IN, weil a+b nach IV aus \IN ist und gemäß den Peanoaxiomen der Nachfolger einer natürlichen Zahl aus \IN ist. q.e.d.
Allerdings verzweifle ich an Teil 2.). Dieser hätte folgende Vor. und Beh., allerdings komme ich beim Bew. nicht weiter:
\big\ Vor.: \normal\ Seien a,b,c,d\el\ \IN beliebig mit (a, b) = (c, d), d.h.: a=c und b=d. \big\ Beh.: \normal\ a+b=c+d \big\ Bew.: \normal\ ?
Ich würde mich sehr freuen, falls Ihr mir helfen könnt.
Liebe Grüße
Jannik
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StrgAltEntf
Senior 
Dabei seit: 19.01.2013
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Aus: Milchstraße
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-05
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Hallo Jannik_S,
willkommen auf dem Matheplaneten!
Die Wohldefiniertheit der Addition ist eine direkte Folgerung aus der Eindeutigkeit des Nachfolgers: Für jedes x gibt es genau ein x'. Außerdem muss man wissen, dass jedes \(y\neq0\) (genau) einen Vorgänger besitzt, also ein x mit x' = y.
Aber du kannst es auch umständlich formal beweisen:
Sei a = c und b = d. ZZ: a + b = c + d.
IA: b = 0
Dann ist a + b = a. Da b = d, folgt d = 0. Und daher c + d = c. Da a = c, folgt a + b = c + d.
IV: Es gelte (a = c und b = d => a + b = c + d)
IS: Sei a = c und b' = d. ZZ: a + b' = c + d
Da \(b'\neq0\) und b' = d, besitzt d einen Vorgänger e mit e' = d. Da b' = e', folgt b = e (Axiom). Also ist a + b = c + e nach IV (mit e statt d). Es folgt (a + b)' = (c + e)' und daher a + b' = c + e' = c + d.
Grüße
StrgAltEntf
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Jannik_S
Junior
Dabei seit: 05.04.2020
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-05
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Hallo StrgAltEntf,
vielen Dank für Deine Antwort! :)
Ich habe zu Deinem Induktionsanfang noch eine Frage. Du folgerst mit der Transitivität der Gleichheit aus d=b und b=0, dass d=0 ist. Das verstehe ich soweit.
Du schreibst dann, dass c+d=c ist, weil d=0 ist. Intuitiv sieht das natürlich richtig aus. Ich bin mir allerdings unsicher, ob diese Argumentation hier schon zulässig ist, weil wir ja gerade dabei sind die Wohldefiniertheit zu beweisen und man doch erst aus dieser folgern darf, dass man bei Abbildungen Gleiches durch Gleiches ersetzen kann. Also, dass aus c=c+0 und d=0 auch c=c+d folgt.
Letztendlich ziele ich auch auf die Frage ab, wieso man bei Abbildung Gleiches durch Gleiches ersetzen darf. Oder gibt es beispielsweise ein Axiom, das mir erlaubt hier Gleiches durch Gleiches zu ersetzen?
Ich hoffe, dass ich das Problem soweit verständlich beschrieben habe. Ansonsten gerne nochmal nachfragen. :)
Viele Grüße
Jannik
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
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Aus: Milchstraße
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-05
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2020-04-05 13:51 - Jannik_S in Beitrag No. 2 schreibt:
Du schreibst dann, dass c+d=c ist, weil d=0 ist. Intuitiv sieht das natürlich richtig aus.
So ist die Addition doch definiert: c + 0 = c. Und wenn d = 0 ist, ist c + d nichts anderes als c + 0.
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Jannik_S
Junior
Dabei seit: 05.04.2020
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-05
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Da hast du vollkommen Recht. ;) Ich frage mich nur, wieso darf man überhaupt die 0 durch d ersetzen, wenn 0=d ist. Ich weiß, das klingt banal, aber in der Mathematik muss doch alles bewiesen sein oder ein Axiom sein oder nicht? :)
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StrgAltEntf
Senior
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Aus: Milchstraße
| Beitrag No.5, eingetragen 2020-04-05
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Also nochmal:
Wenn b = 0, dann ist a + b := a. (So ist die Addition mit 0 definiert.)
Analog:
Wenn 0 = d (was dasselbe wie d = 0 ist), dann ist c + d = c.
Hier wurden nur die Buchstaben vertauscht.
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Jannik_S
Junior
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-05
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5874
Aus: Milchstraße
| Beitrag No.7, eingetragen 2020-04-05
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2020-04-05 16:07 - Jannik_S in Beitrag No. 6 schreibt:
Angenommen diese Argumentation sei korrekt, wäre doch auch folgende Argumentation korrekt, oder?
Es gilt: a+b=a+b Wegen a=c gilt: a+b=c+b Wegen b=d gilt: a+b=c+d
Es wurde doch auch wieder nur Buchstaben vertauscht, die das gleiche bedeuten.
Da hast du eigentlich recht, würde ich sagen. Ich sehe jetzt nichts, was dagegen sprechen würde. Also vergiss meinen Induktionsbeweis.
Oder legt jemand Einspruch ein? 🙃
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Jannik_S
Junior
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-05
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traveller
Senior
Dabei seit: 08.04.2008
Mitteilungen: 2508
| Beitrag No.9, eingetragen 2020-04-05
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Was genau man bei "Wohldefiniertheit" zeigen muss ist ja immer so eine Sache, aber
2020-04-05 11:28 - Jannik_S im Themenstart schreibt:
2.) Beweisen, dass der Funktionswert für das gleiche Argument auch gleich ist scheint mir doch eine etwas seltsame Formulierung zu sein und der "Beweis" dazu ist es noch mehr. Schlussendlich müsste man dies ja für jede beliebige Formel, welche Variablen verwendet fordern und müsste jedes Mal zeigen, dass man die Buchstaben durch andere ersetzen darf...
Ich denke, es ist hier sinnvoller einfach zu schreiben
2.) Der Ausdruck $a+b$ ist eindeutig.
und dies mit der Eindeutigkeit des Nachfolgers in Peano zu beweisen.
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tobit09
Aktiv 
Dabei seit: 24.04.2018
Mitteilungen: 33
| Beitrag No.10, eingetragen 2020-04-06
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Hallo zusammen,
solange noch unklar ist, ob $+$ überhaupt wohldefiniert ist, können wir nicht sinnvoll Ausdrücke der Form $a+b$ bilden. Insbesondere ist $a+b=c+d$ keine wohldefinierte Aussage.
Wenn hingegen + als wohldefiniert erkannt ist, ist $(a,b)=(c,d)\Rightarrow a+b=c+d$ in der Tat einfach zu zeigen wie in Beitrag Nummer 6.
A priori ist in der Tat nicht klar, dass $+$ wohldefiniert ist, weil die "Definition" von $+$ bereits $+$ benutzt.
Zu lesen ist die "Definition" von + wie folgt: + ist die eindeutig bestimmte Abbildung $f\colon\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N}$, die den Gleichungen $f(a,0)=a$ und $f(a,b')=f(a,b)'$ für alle $a,b\in\mathbb{N}$ genügt.
Und in dieser Formulierung sieht man nun, dass eine Behauptung in der Definition steckt: Es gibt genau eine Abbildung $f\colon\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N}$, die den Gleichungen $f(a,0)=a$ und $f(a,b')=f(a,b)'$ für alle $a,b\in\mathbb{N}$ genügt.
Diese Behauptung lässt sich mithilfe des Rekursionssatzes zeigen:
Rekursionssatz: Sei $M$ eine Menge, $g\colon M\to M$ eine beliebige Abbildung und $m\in M$. Dann gibt es genau eine Abbildung $h\colon\mathbb{N}\to M$ mit $h(0)=m$ und $h(b')=g(h(b))$ für alle $b\in\mathbb{N}$.
Beim Beweis des Rekursionssatzes ist die Eindeutigkeit der Abbildung $h$ im Wesentlichen eine leichte Induktion.
Etwas schwieriger ist die Konstruktion einer Abbildung $h$ mit den gewünschten Eigenschaften.
Viele Grüße
Tobias
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