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Analysis » Topologie » Beweis zum Thema Immersion & Homöomorphismus
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Universität/Hochschule Beweis zum Thema Immersion & Homöomorphismus
Dedekind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-07


Hallo MP,

ich sitze nun bereits geraume Zeit am Beweis zu Satz 1, §9 Untermannigfaltigkeiten (S.116) in Otto Forster's Analysis 2. Da ich davon ausgehe, dass nicht jeder dieses Buch zur Hand hat, hier der Satz und Beweis:

Satz 1: Sei $T \subset \mathbb{R}^k$ offen und $\varphi: T \to \mathbb{R}^n$ eine Immersion. Dann gibt es zu jedem Punkt $t \in T$ eine offene Umgebung $V \subset T$, so dass die Beschränkung $\varphi \vert V \to \varphi(V) \subset \mathbb{R}^n$ injektiv ist und einen Homöomorphismus von $V$ auf $\varphi(V)$ darstellt.

Beweis. Für $k=n$ ist dies im Satz über die Umkehrabbildung enthalten. Wir können deshalb $k<n$ annehmen. Nach der Vorbemerkung 3) gibt es zu einem vorgegebenen Punkt $t_{\ast} \in T$ Indizes $1 \leq i_1 < i_2 < \ldots < i_k \leq n$, so dass die $k$ x $k$-Matrix $\frac {\partial(\varphi_{i_1},\ldots , \varphi_{i_k})}{\partial (t_1, \ldots ,t_k)}(t_{\ast})$ invertierbar ist. Um die Schreibweise zu vereinfachen, nehmen wir o.B.d.A. an, dass $(i_1, i_2, \ldots ,  i_k) = (1,2, \ldots , k)$.

Auf die Abbildung $\tilde{\varphi}:=(\varphi_1, \ldots , \varphi_k):T \to \mathbb{R}^k$ können wir jetzt den Satz über die Umkehrabbildung anwenden. Es gibt eine offene Umgebung $V \subset T$ von $t_{\ast}$ und eine offene Umgebung $U \subset \mathbb{R}^n$ von $\tilde{\varphi}(t_{\ast})$, so dass $\tilde{\varphi}:V \to U$ bijektiv ist und eine stetig differenzierbare Umkehrabbildung $\tilde{\psi}: U \to V \subset \mathbb{R}^k$ besitzt.

Die Beschränkung von $\varphi$ auf $V$ lässt sich schreiben als $\varphi = (\tilde{\varphi}, \breve{\varphi}): V \to U \times \mathbb{R}^{n-k} \subset \mathbb{R}^n$ mit $\breve{\varphi}:=(\varphi_{k+1}, \ldots , \varphi_n)$.

Da $\breve{\varphi}: V \to U$ bijektiv ist, ist auch $\varphi: V \to \varphi(V) \subset U \times \mathbb{R}^{n-k}$ bijektiv und sogar ein Homöomorphismus, denn es besitzt eine stetige Umkehrabbildung $\psi: \varphi(V) \to V, \psi(x_1, \ldots, x_k, \ldots, x_n) := \tilde{\psi}(x_1, \ldots, x_k)$.

Damit ist Satz 1 bewiesen.

Nun meine Fragen:

1) Wieso ist $\varphi$ bijektiv, nur weil $\tilde{\varphi}$ bijektiv ist?

2) Wieso ist $\psi$ nicht differenzierbar, obwohl $\tilde{\psi}$ stetig differenzierbar ist?

3) Wie kann ich $\psi$ überaupt mit $\tilde{\psi}$ identifizieren? Sind die für $x_{k+1}, \ldots, x_n$ eingesetzten Werte dann irgendwie "egal"?

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

LG
Dedekind


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}}\)
Hallo,
2020-04-07 17:51 - Dedekind im Themenstart schreibt:

1) Wieso ist $\varphi$ bijektiv, nur weil $\tilde{\varphi}$ bijektiv ist?
Vermutlich ein Tippfehler. $\varphi$ ist injektiv (das ist ja auch die Behauptung).
Edit: Bzw. $\varphi: V\to \varphi(V)$ ist natürlich automatisch auch bijektiv, wenn $\varphi$ injektiv ist.


2) Wieso ist $\psi$ nicht differenzierbar, obwohl $\tilde{\psi}$ stetig differenzierbar ist?
Es wird doch gar nicht behauptet, dass $\psi$ nicht differenzierbar ist. Wenn ich nichts übersehe, dann ist $\psi$ aber sogar differenzierbar. Braucht man halt nicht für die Behauptung des Satzes.

3) Wie kann ich $\psi$ überaupt mit $\tilde{\psi}$ identifizieren? Sind die für $x_{k+1}, \ldots, x_n$ eingesetzten Werte dann irgendwie "egal"?
Die Frage verstehe ich nicht. Die Abbildung $\psi$ wird definiert durch die Abbildungsvorschrift $\psi(x_1, \ldots, x_k, \ldots, x_n) := \tilde{\psi}(x_1, \ldots, x_k)$. Damit sieht man, dass $\psi$ stetig und eine Umkehrabbildung von $\varphi$ ist.
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Dedekind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-07


Hallo Nuramon,

1) Ich habe eben nochmal nachgesehen. Vermutlich hast Du recht. Im Buch steht bijektiv, in unserer Vorlesungsmitschrift jedoch injektiv. Aber auch hier stellt sich mir die Frage, wieso aus Injektivität der einen Funktion die Injektivität der anderen folgt.

2) In unserer Vorlesungsmitschrift (die sich am Forster orientiert) haben wir explizit aufgeschrieben, dass i.A. keine Differenzierbarkeit vorliegt. Vage kann ich mich erinnern, dass er am Rande meinte, dass aus welchen Gründen auch immer Differenzierbarkeit in diesem Setting nicht definiert ist. Sonst hätte ich es genauso gesehen wie Du, dass die Differenzierbarkeit hier einfach nicht benötigt wird. Aber der Kommentar in meiner Mitschrift leuchtet mir nicht ganz ein.

3) Verstehe ich also richtig, dass somit beispielsweise $\psi(x_1, \ldots, x_k, 0, \ldots, 0)=\psi(x_1, \ldots, x_k, 1, \ldots, 1)$, sofern definiert, da ja in beiden Fällen $\tilde{\psi}$ gleich ist? Mit anderen Worten: Die Umkehrabbildung ist nicht eindeutig?

LG
Dedekind


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}}\)
2020-04-07 18:41 - Dedekind in Beitrag No. 2 schreibt:
1) Ich habe eben nochmal nachgesehen. Vermutlich hast Du recht. Im Buch steht bijektiv, in unserer Vorlesungsmitschrift jedoch injektiv.
Beachte auch den Definitions bzw. Bildbereich der Einschränkung (siehe auch meinen Edit). $\varphi: V \to \varphi(V)$ ist per Definition schon surjektiv.

Aber auch hier stellt sich mir die Frage, wieso aus Injektivität der einen Funktion die Injektivität der anderen folgt.
Es gilt allgemein für Abbildungen $f_1:X_1\to Y_1, f_2:X_2\to Y_2$, dass die Abbildung $(f_1,f_2):X_1\times X_2 \to Y_1\times Y_2, (x_1,x_2)\mapsto (f_1(x_1),f_2(x_2))$ injektiv ist, falls $f_1$ injektiv ist.
Siehe No. 5 für die korrekte Aussage.


3) Verstehe ich also richtig, dass somit beispielsweise $\psi(x_1, \ldots, x_k, 0, \ldots, 0)=\psi(x_1, \ldots, x_k, 1, \ldots, 1)$,
sofern definiert, da ja in beiden Fällen $\tilde{\psi}$ gleich ist?
Prinzipiell ja. Tatsächlich können aber $(x_1,\ldots, x_k, 0,\ldots,0)$ bzw. $(x_1, \ldots, x_k, 1, \ldots, 1)$ nicht beide in $\varphi(V)$ liegen (sonst wäre $\tilde\varphi:V\to U$ nicht injektiv).


Mit anderen Worten: Die Umkehrabbildung ist nicht eindeutig?
Was meinst du mit eindeutig? Es gibt genau eine Abbildung mit dieser Abbildungsvorschrift.
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Dedekind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}}\)
Hallo Nuramon,

2020-04-07 19:21 - Nuramon in Beitrag No. 3 schreibt:
Beachte auch den Definitions bzw. Bildbereich der Einschränkung (siehe auch meinen Edit). φ:V→φ(V) ist per Definition schon surjektiv.
Stimmt. Dann folgt aus Injektivität natürlich nach dem Einschränken auf das Bild die Bijektivität


2020-04-07 19:21 - Nuramon in Beitrag No. 3 schreibt:
Es gilt allgemein für Abbildungen $f_1:X_1\to Y_1, f_2:X_2\to Y_2$, dass die Abbildung $(f_1,f_2):X_1\times X_2 \to Y_1\times Y_2, (x_1,x_2)\mapsto (f_1(x_1),f_2(x_2))$ injektiv ist, falls $f_1$ injektiv ist.
Das wusste ich nicht. Kannst du mir einen Hinweis geben/ erklären, warum das gilt? Wenn ich das verstanden habe, wäre ich im Beweis vermutlich ein ganzes Stück weiter.


2020-04-07 19:21 - Nuramon in Beitrag No. 3 schreibt:
Prinzipiell ja. Tatsächlich können aber $(x_1,\ldots, x_k, 0,\ldots,0)$ bzw. $(x_1, \ldots, x_k, 1, \ldots, 1)$ nicht beide in $\varphi(V)$ liegen (sonst wäre $\tilde\varphi:V\to U$ nicht injektiv).
Das leuchtet mir ein.


2020-04-07 19:21 - Nuramon in Beitrag No. 3 schreibt:
Was meinst du mit eindeutig? Es gibt genau eine Abbildung mit dieser Abbildungsvorschrift.
Das hat sich damit auch geklärt.

Unklar ist immer noch die Sache mit der Differenzierbarkeit. Habe eben noch diesen Beitrag gefunden. Hier wird über eben denselben Beweis bzgl. der Differenzierbarkeit gesprochen und am Schluss kam man wohl zu dem Schluss dass keine Differenzierbarkeit vorliegt. Jedoch ist mir die Erklärung nicht ganz klar.


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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}}\)
2020-04-07 19:53 - Dedekind in Beitrag No. 4 schreibt:
2020-04-07 19:21 - Nuramon in Beitrag No. 3 schreibt:
Es gilt allgemein für Abbildungen $f_1:X_1\to Y_1, f_2:X_2\to Y_2$, dass die Abbildung $(f_1,f_2):X_1\times X_2 \to Y_1\times Y_2, (x_1,x_2)\mapsto (f_1(x_1),f_2(x_2))$ injektiv ist, falls $f_1$ injektiv ist.
Das wusste ich nicht. Kannst du mir einen Hinweis geben/ erklären, warum das gilt? Wenn ich das verstanden habe, wäre ich im Beweis vermutlich ein ganzes Stück weiter.
Entschuldigung, da habe ich nicht aufgepasst. Die richtige Aussage geht so:
Wenn $f_1:X\to Y_1$ injektiv und $f_2:X\to Y_2$ beliebig ist, dann ist $(f_1,f_2):X\to Y_1\times Y_2, x\mapsto (f_1(x), f_2(x))$ injektiv.
Die Aussage ist ziemlich leicht zu zeigen, probier es erstmal selbst und melde dich, wenn du nicht weiterkommst.
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Hallo Nuramon,

Die Aussage würde ich wie folgt zeigen:

Sei $f_1: X \to Y_1$ injektiv und $f_2:X \to Y_2$ beliebig. Für die Abbildung $(f_1, f_2):X \to Y_1 \times Y_2, x \mapsto (f_1(x),f_2(x))$ gilt dann für $(f_1(x_1),f_2(x_1)) = (f_1(x_2),f_2(x_2))$ insbesondere auch $f_1(x_1)=f_1(x_2)$. Da $f_1$ injektiv ist folgt daraus $x_1=x_2$ und somit die Behauptung.

Sollte das stimmen, wäre ja bis auf die Sache mit der Differenzierbarkeit alles geklärt. Vielen Dank!

LG
Dedekind


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