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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Quadrate, algebraisch abgeschlossen, Charakteristik 2...
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Universität/Hochschule Quadrate, algebraisch abgeschlossen, Charakteristik 2...
alp3737
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-08


Hallo Leute,

ich sitze momentan an meiner Bachelorarbeit (Thema quadratische Gleichungen) und komme nicht weiter. Obwohl bis jetzt alles gut lief, bin ich heute auf ein Themengebiet gestoßen, welches ich bisher nicht kennengelernt und bearbeitet habe. Die Rede ist von algebraisch abgeschlossenen Körpern. Unten könnt Ihr den Abschnitt sehen, wo ich hängen geblieben bin. Der Text ist normalerweise auf Englisch, jedoch habe ich den Abschnitt auf deutsch übersetzt. Es kann also durchaus sein, dass es einige Übersetzungsfehler gibt.

In einem Körper F, Q(F)∶={x^2|x ∈ F} ist die Menge der Quadrate. Eine Funktion √ : Q → F mit der Eigenschaft (√x)^2=x wird eine Quadratwurzel genannt. Das Polynom p(x)=x^2-r hat zwei Nullstellen. Für r ∈ Q(F) sind die beiden Nullen  +-√r, und diese beiden Werte fallen zusammen wenn r = 0 ist oder wenn F die Charakteristik 2 hat. Wenn F algebraisch geschlossen ist, sind alle Elemente Quadrate. Aufgrund des Frobenius-Automorphismus gilt das Gleiche für jedes endliche Feld der Charakteristik 2. Und in einem endlichen Feld der ungeraden Charakteristik gibt es so viele Quadrate ungleiche Null wie Nichtquadrate. In diesem Fall sind Produkte aus zwei Quadraten oder aus zwei Nichtquadraten Quadrate, ein Produkt aus einem Quadrat und einem Nichtquadrat ist ein Nichtquadrat.


Ich verstehe zwar, dass das Polynom p(x)=x^2-r zwei Nullstellen hat (x1= +√r und x2=-√r), aber die restlichen Informationen, wie zum Beispiel Charakteristik 2 oder algebraisch abgeschlossene Körper verwirren mich.
Freue mich schon auf Eure Hilfe.
Über Literaturempfehlungen oder Ähnliches wäre ich auch glücklich.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}}\)
Hallo,


2020-04-08 20:11 - alp3737 im Themenstart schreibt:
Der Text ist normalerweise auf Englisch, jedoch habe ich den Abschnitt auf deutsch übersetzt.
Merkt man😉. "Finite field" heißt auf deutsch "endlicher Körper".


Wenn $K$ ein Körper der Charakteristik $p$ ist, dann ist die Abbildung $f:K\to K, x\mapsto x^p$ ein Körperhomomorphismus (rechne das nach, falls du es noch nicht wusstest!). Man nennt $f$ den Frobeniushomomorphismus.
Körperhomomorphismen sind immer injektiv (warum?). Wenn $K$ endlich ist, dann ist $f$ also sogar bijektiv (warum?).


Und in einem endlichen Feld der ungeraden Charakteristik gibt es so viele Quadrate ungleiche Null wie Nichtquadrate. In diesem Fall sind Produkte aus zwei Quadraten oder aus zwei Nichtquadraten Quadrate, ein Produkt aus einem Quadrat und einem Nichtquadrat ist ein Nichtquadrat.
Sei $F$ ein endlicher Körper ungerader Charakteristik. Überlege dir folgendes:
1. Die Abbildung $F\to F, x\mapsto x^2$ ist nicht surjektiv.
2. Es gibt also ein Element $n\in F\setminus Q(F)$. Kannst du mithilfe von $n$ eine Bijektion zwischen $Q(F)\setminus\{0\}$ und $F\setminus Q(F)$ finden?

Hilft dir das deine Fragen zu beantworten? Wenn nicht, dann frag gern nochmal nach.
\(\endgroup\)


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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-04-09


Bescheidene Frage:

Wie kann es sein, dass man eine Bachelorarbeit zu einem algebraischen Thema schreibt und noch nie den Begriff "finite field" in einem englischsprachigen Algebrabuch gesehen hat?

Sorry, falsche Frage. Gesehen ja schon, aber nicht in Verbindung mit dem Begriff Körper gebracht.





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alp3737
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-09


Danke nochmals für die schnelle Antwort👍👍

Ich muss mich ein wenig mit dem Thema beschäftigen, um deine Vorgehensweise bzw. die Thematik zu verstehen.

Da ich Mathematik auf Lehramt studiere (SEK 1), ist es normal, dass die Dozenten nicht alle Themengebiete der Algebra mit uns besprechen. Wenn man seine Bachelorarbeit fachinhaltlich schreibt, muss mann damit rechnen, dass man auf Probleme zustößt. Naja... Probleme sind dafür da, um gelöst zu werden.

Über weitere Lösungsmöglichkeiten würde ich mich ebenfalls freuen.  
Bei neuen Problemen starte ich einfach eine neue Diskussion.😁



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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-04-09


Na, dann wird wohl von dir erwartet, dass du dich selber in das Thema einarbeitest.

Dazu gibt es viele gute Bücher, auch online. Ich empfehle immer

links.php?op=visit&lid=1858

ist allerdings in Englisch, und dort wieder:

hier

Je nach Vorkenntnissen kannst du gleich mit Kapitel 3 anfangen.

Noch ein Tip: Lerne ein wenig LaTex für die Bachelorarbeit. Das kannst du auch hier auf dem MP verwenden.

PS: gerade lese ich dort, dass der Autor Robert Ash 2015 gestorben ist. Seine großartigen Bücher bleiben uns erhalten.






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