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  35 Grad mit Zirkel und Lineal konstruiert :-) |
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Bekell
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 |  Beitrag No.40, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-30
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Traveller, formulier doch mal, wie Du die Aufgabe stellen würdest, ohne Irrtumsmöglichkeiten. Welche Daten gehören dazu, welche lenken nur ab?
(Ich sehe inzwischen, daß mit der Wurzel 3 als Radius ist schlecht gemacht von mir, das könnte man eventuell besser machen !)
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DerEinfaeltige
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 | Beitrag No.41, eingetragen 2020-04-30
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\quoteon(2020-04-30 16:22 - traveller in Beitrag No. 39)
Der Radius des grossen Kreises ist $\sqrt{3}$. Die Fläche des Kreisrings ist damit
$$3\pi-1\pi=2\pi$$
und damit gleich der Fläche des grünen Kreises mit Radius $\sqrt{2}$.
\quoteoff
Dann bin ich echt zu blöd ...
Ich betrachte das Dreieck AJC.
Dieses ist rechtwinklig (Radius zu Tangente) und gleichschenklig mit Kathetenlänge $r_1$.
Die Strecke AC ist also $\sqrt{2}\cdot r_1$ lang.
Der Radius des zweiten Kreises ergibt sich durch subtraktion von $1$, da sich die Kreise ja berühren.
Für $r_1 = \sqrt{3}$ gilt dann $r_2 = \sqrt{6}-1 \approx 1.44 \neq \sqrt{2}$.
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MartinN
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| Beitrag No.42, eingetragen 2020-04-30
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Was ich mich gerade frage...
Links haben wir 2 Kreise mit Radien 1 und Sqrt(3) um einen gemeinsamen Mittelpunkt. Den Kreis mit Radius 1 soll von außen ein Kreis mit Radius Sqrt(2) berühren.
Dann leg ich eine Tangente an den großen Kreis durch den Mittelpunkt des äußeren Kreises, und der Berührungspunkt soll der Schnittpunkt der beiden größeren Kreise sein (so versteh ich die Grafik)
Dann müsste gelten:
(1+sqrt(2))^2 = sqrt(3)^2 + sqrt(2)^2
Das kommt doch never hin xD
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.40 begonnen.]
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traveller
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| Beitrag No.43, eingetragen 2020-04-30
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\quoteon(2020-04-30 17:11 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 41)
Dieses ist rechtwinklig (Radius zu Tangente)
\quoteoff
Die Gerade ist keine Tangente (sieht man ja auch). Sie geht durch den Mittelpunkt und den Schnittpunkt der beiden Kreise. Damit ist das Dreieck auch nicht rechtwinklig.
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Bekell
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| Beitrag No.44, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-30
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Das kommt mir auch komisch vor, Martin N, mit den beiden Vergleichsflächen sind auf jeden Fall nur die Fläche im Grünen Kreis mit der im Ring gemeint. Die Grundlage ist ja die Größe "2".
Die Zeichnungen sind nicht präzise. Warum aber die Grünkreishalbierende mit Steigung 1 ausgerechnet eine Tangente zum großen Kreis mit Radius Wurzel 3 sein soll, erschließt sich mir auch nicht. Da aber der Wurzel 2 und Wurzel 3 Kreis sich genau auf der Y=1 Linie treffen, dachte ich....
In Wirklichkeit werden beide Vergleichsflächen wohl 4 Punkte haben, auch die im grünen Kreis.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.42 begonnen.]
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Bekell
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| Beitrag No.45, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-30
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\quoteon(2020-04-30 17:27 - traveller in Beitrag No. 43)
\quoteon(2020-04-30 17:11 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 41)
Dieses ist rechtwinklig (Radius zu Tangente)
\quoteoff
Die Gerade ist keine Tangente (sieht man ja auch). Sie geht durch den Mittelpunkt und den Schnittpunkt der beiden Kreise. Damit ist das Dreieck auch nicht rechtwinklig.
\quoteoff
Traveller, wenn die beiden den Mittelpunkt von Kreisen schneidenden Geraden parallel sind, und das sind sie, weil beide Steigung 1 haben, dann muß die 2. Gerade, die durch den grünen Kreis geht, eine Tangente des großen Kreises mit Radius Wurzel 3 sein, wegen der Rechtwinkligkeit des Radiusses, der quasi ein Lot auf die Tangente ist.
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MartinN
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| Beitrag No.46, eingetragen 2020-04-30
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Also soll das jetzt ein Schnittpunkt sein? Also hat J die Koordinaten (4-sqrt(2) | - 1) und wenn eine Gerade an dem Punkt mit Anstieg 1 die x-Achse schneidet, dann bei x = 5 - sqrt(2).
Der Mittelpunkt des äußeren Kreises soll aber 2 + sqrt(2) sein.
Das passt dann auch nicht...
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Bekell
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| Beitrag No.47, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-30
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@MartinN
Die Entfernung zwischen D und I auf der ersten Zeichnung müsste dieselbe sein, wie die Zwischen Tangentenberührung (großer Kreis) und Schnittpunkt grüner Kreis / Gerade und der Schnittpunkt grüner kreis / großer Kreis ist davon wohl etwas weg.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.45 begonnen.]
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DerEinfaeltige
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| Beitrag No.48, eingetragen 2020-04-30
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\quoteon(2020-04-30 17:27 - traveller in Beitrag No. 43)
Die Gerade ist keine Tangente (sieht man ja auch). Sie geht durch den Mittelpunkt und den Schnittpunkt der beiden Kreise. Damit ist das Dreieck auch nicht rechtwinklig.
\quoteoff
\quoteon
Zitat Aufgabensteller:
Die Tatsache, daß sich in dieser Zeichnung hier unten die Diagonale mit der Steigung 1 nicht den kreis berührt, hat damit zu tun, daß die Kreisränder verdickt und ich die Kreise nicht echt berühren lassen kann in Geo gebrauchen.
\quoteoff
Ich ging mal davon aus, dass diese grammatikalisch recht eigenwilligen Sätze bedeuten, dass sich sowohl die Kreise als auch Gerade und Kreis berühren sollen.
Das steht allerdings in direktem Widerspruch zu den angeblichen Flächenverhältnissen.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.45 begonnen.]
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MartinN
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| Beitrag No.49, eingetragen 2020-04-30
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@bekell
JC hat nicht Anstieg 1... Wenn deine Konstruktion bisher richtig verstanden wurde.
Wie definierst du eigentlich die zweite Gerade durch A? Ist die random durch A gezeichnet?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.46 begonnen.]
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StrgAltEntf
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 | Beitrag No.50, eingetragen 2020-04-30
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Nebenbei noch einmal zum Thread-Titel ...
\quoteon(2020-04-29 21:14 - StrgAltEntf in Beitrag No. 3)
\quoteon(2020-04-29 19:28 - stpolster in Beitrag No. 1)
Ich bezweifele darüber hinaus, dass man mit Zirkel und Lineal einen Winkel von 35° exakt(!) konstruieren kann.
\quoteoff
Das ist richtig bezweifelt
\quoteoff
Ein Winkel von n° (n ganzzahlig) ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn n ein Vielfaches von 3 ist.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.45 begonnen.]
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MartinN
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| Beitrag No.51, eingetragen 2020-04-30
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hier\quoteon(2020-04-30 17:58 - Bekell in Beitrag No. 47)
@MartinN
Die Entfernung zwischen D und I auf der ersten Zeichnung müsste dieselbe sein, wie die Zwischen Tangentenberührung (großer Kreis) und Schnittpunkt grüner Kreis / Gerade und der Schnittpunkt grüner kreis / großer Kreis ist davon wohl etwas weg.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.45 begonnen.]
\quoteoff
Ich nix verstehen... Was hat jetzt DI damit zu tun? Welche drölf Punkte meinst du und was ist eine Tangentenberuhrung wenn es doch gar keinen Tangenten sein sollen. Benutze doch die Punkte, die du angegeben hast statt irgendetwas unverständlich beschreiben zu wollen.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.49 begonnen.]
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Bekell
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| Beitrag No.52, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-30
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\quoteon(2020-04-30 17:59 - MartinN in Beitrag No. 49)
@bekell
Wie definierst du eigentlich die zweite Gerade durch A?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.46 begonnen.]
\quoteoff
Die und die 2. auch muß Steigung 1, also 45 ° haben, weil sie den Ringe achteln soll!
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.50 begonnen.]
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traveller
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| Beitrag No.53, eingetragen 2020-04-30
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\quoteon(2020-04-30 17:56 - MartinN in Beitrag No. 46)
Also soll das jetzt ein Schnittpunkt sein? Also hat J die Koordinaten (4-sqrt(2) | - 1)
\quoteoff
Nein, es ist $J(1+\sqrt{2}|-1)$. Damit passt das schon.
\quoteon(2020-04-30 17:43 - Bekell in Beitrag No. 45)
Traveller, wenn die beiden den Mittelpunkt von Kreisen schneidenden Geraden parallel sind, und das sind sie, weil beide Steigung 1 haben, dann muß die 2. Gerade, die durch den grünen Kreis geht, eine Tangente des großen Kreises mit Radius Wurzel 3 sein, wegen der Rechtwinkligkeit des Radiusses, der quasi ein Lot auf die Tangente ist.
\quoteoff
Nö. Sie ist nicht rechtwinklig auf dem Radiusvektor $\vec{AJ}$. Das ist aber auch nicht nötig, sie muss einfach parallel zur anderen Geraden sein.
Übrigens: In deiner zweiten Zeichnung hast du einfach den Punkt $J$ so verschoben, dass er nun nicht mehr der Kreisschnittpunkt, sondern tatsächlich Berührpunkt der Geraden ist, welche nun tatsächlich zur Tangente geworden ist (bis auf die zeichnerische Ungenauigkeit). Damit ist sie aber nicht mehr parallel zur ersten Gerade, denn wie man schön erkennen kann geht sie unten links fast genau durch ein Gitterkreuz, später aber nicht mehr, denn sie ist nun zu steil.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.50 begonnen.]
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Bekell
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| Beitrag No.54, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-30
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\quoteon(2020-04-30 18:03 - MartinN in Beitrag No. 51)
Ich nix verstehen... Was hat jetzt DI damit zu tun? Welche drölf Punkte meinst du und was ist eine Tangentenberuhrung wenn es doch gar keinen Tangenten sein sollen. Benutze doch die Punkte, die du angegeben hast statt irgendetwas unverständlich beschreiben zu wollen.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.49 begonnen.]
\quoteoff
Wenn Du durch A und C je eine zweite Gerade laufen lässt, je um 90 ° versetzt, so daß die Kreise dann geviertelt sind, wirst du sehen, daß ein Quadrat entsteht, und daß die Entfernung DI dann unten auch wieder auftauchen muß, und zwar zwischen dem Punkt, wo die 2. Gerade tangential den großen Kreis berührt und dem, wo sie den grünen Kreis verlässt. Ich liege gerade mit Geogebra über Kreuz, sonst würd ich hier eine bessere Zeichnung einstellen.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.52 begonnen.]
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Bekell
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| Beitrag No.55, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-30
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\quoteon(2020-04-30 18:10 - traveller in Beitrag No. 53)
Nö. Sie ist nicht rechtwinklig auf dem Radiusvektor $\vec{AJ}$. Das ist aber auch nicht nötig, sie muss einfach parallel zur anderen Geraden sein.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.50 begonnen.]
\quoteoff
Ja, da nicht, sondern auf AD
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MartinN
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| Beitrag No.56, eingetragen 2020-04-30
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Okay... Ich kann hier nix mehr zu sagen, ehe nicht klar ist wie jetzt welcher Punkt, Kreis oder Gerade entsteht oder welche Koordinaten die haben 😂
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traveller
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| Beitrag No.57, eingetragen 2020-04-30
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\quoteon(2020-04-30 18:19 - Bekell in Beitrag No. 55)
\quoteon(2020-04-30 18:10 - traveller in Beitrag No. 53)
Nö. Sie ist nicht rechtwinklig auf dem Radiusvektor $\vec{AJ}$. Das ist aber auch nicht nötig, sie muss einfach parallel zur anderen Geraden sein.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.50 begonnen.]
\quoteoff
Ja, da nicht, sondern auf AD
\quoteoff
Ich versteh kein Wort und hab jetzt auch keine Lust mehr. Es zeigt aber, dass du deine Konstruktion selbst nicht wirklich verstehst, und uns wirfst du vor, dass wir irgendwelche $\sqrt{2}$ nicht sehen 😡
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.55 begonnen.]
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MartinN
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| Beitrag No.58, eingetragen 2020-04-30
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Okay... Ich hatte mich wohl beim J verrechnet. Die Koordinaten von traveller sollten stimmen, dann auch der Anstieg der gerade durch C doch 1.
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viertel
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 | Beitrag No.59, eingetragen 2020-04-30
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So, dann stellen wir mal alles zusammen:
Die Zeichnung im Themenstart ist (ziemlich) korrekt:
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_1_3_Kreise_Fl_chen.png
J ist kein Tangentenpunkt. Insofern ist die zweite Zeichnung falsch:
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_3_Kreise_Fl_chen2.png
Jetzt zur (sehr einfachen) Lösung der Flächengleichheit.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/1781_35_Grad_mit_Zirkel_und_Lineal_konstruiert_247047.png
Die Strecke $P_4I$ ist tatsächlich gleich $1$. Aber das ist irrelevant.
Der Kreisring hat – wie schon festgestellt wurde – die Fläche $(\sqrt{3}^2-1^2) \cdot \pi=2\pi$, somit ist die Fläche des Teilstücks $$HKDE=\frac{\pi}{4}$$
Ebenso ist die Fläche des Tortenstück des rechten Kreises
$$CHJ=\frac{\pi}{4}$$
Von diesen beiden Teilflächen ist jeweils die halbe Linse (also $HKI$ bzw. $HKJ$, deren eigentliche Fläche völlig uninteressant ist) zu subtrahieren.
Also sind die beiden eingefärbten Flächen gleich.
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viertel
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Dabei seit: 04.03.2003
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| Beitrag No.60, eingetragen 2020-04-30
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\quoteon(2020-04-30 16:49 - Bekell in Beitrag No. 40)
Traveller, formulier doch mal, wie Du die Aufgabe stellen würdest, ohne Irrtumsmöglichkeiten. Welche Daten gehören dazu, welche lenken nur ab?
\quoteoff
Ich bin zwar nicht traveller, aber die Aufgabe wird sinnvoll, wenn du das „Rätselraten“ wegläßt. Also gleich die Radien der 3 Kreise angibst. Daß $H$ ein Berührpunkt der beiden Kreise ist kann man tatsächlich der Zeichnung entnehmen (etwas Anderes würde auch keinen Sinn ergeben). Auch die Steigung $45^\circ$ der Geraden $AD$ ist erkennbar (da macht das Gitter tatsächlich Sinn).
Nur $CJ$ ist halt keine Parallele zu $AD$, aber das ist auch unerheblich, da sich $I$ und $J$ als Schnittpunkte der beiden Kreise ergeben.Blöder Denkfehler von mir 🙁
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traveller
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| Beitrag No.61, eingetragen 2020-04-30
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\quoteon(2020-04-30 20:26 - viertel in Beitrag No. 60)
Nur $CJ$ ist halt keine Parallele zu $AD$, aber das ist auch unerheblich, da sich $I$ und $J$ als Schnittpunkte der beiden Kreise ergeben.
\quoteoff
Ehm, doch? Sonst stimmt doch auch
\quoteon(2020-04-30 20:03 - viertel in Beitrag No. 59)
Ebenso ist die Fläche des Tortenstück des rechten Kreises
$$CHJ=\frac{\pi}{4}$$
\quoteoff
nicht.
\quoteon(2020-04-30 20:03 - viertel in Beitrag No. 59)
Die Strecke $P_4I$ ist tatsächlich gleich $1$. Aber das ist irrelevant.
\quoteoff
Ja, oder man gibt dies vor und lässt dafür den Radius des mittleren oder grossen Kreises weg, was die Aufgabe etwas schwieriger macht.
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viertel
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| Beitrag No.62, eingetragen 2020-04-30
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\quoteon(2020-04-30 20:50 - traveller in Beitrag No. 61)
\quoteon(2020-04-30 20:26 - viertel in Beitrag No. 60)
Nur $CJ$ ist halt keine Parallele zu $AD$, aber das ist auch unerheblich, da sich $I$ und $J$ als Schnittpunkte der beiden Kreise ergeben.
\quoteoff
Ehm, doch? Sonst stimmt doch auch
\quoteoff
Da hatte ich was Unsinniges im Kopf. Hab's oben ausgetrichen.
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MartinN
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| Beitrag No.63, eingetragen 2020-04-30
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Das einzig interessante an der Aufgabe (weswegen auch die Flächen gleichgroß sind) ist, dass die Geraden AD und CJ parallel sind / mit der x-Achse denselben Winkel haben (und damit Flächengleiche Kreissektoren/ Kreisringstücke bilden).
Aber AD ist da ziemlich beliebig gewählt... Eine Gerade mit Anstieg 1 oder noch trivialer für die Aufgabe: parallel zu CJ (dann könnte der Winkel auch sonst wie sein).
Schöner fände ich da, wenn sich AD auch aus iwelchen Schnittpunkte oder so ergäbe.
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traveller
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| Beitrag No.64, eingetragen 2020-05-01
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Ja, dass da gerade ein 45°-Winkel rauskommt, da hatte der Ersteller - sorry, muss man einfach so sagen - wohl mehr Glück als Verstand. Aber wie du sagst, hätte man die Aufgabe trotzdem retten können, denn die linke Gerade muss lediglich parallel zur rechten sein (und durch den Kreismittelpunkt gehen).
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viertel
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| Beitrag No.65, eingetragen 2020-05-01
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Und außerdem $35.26438968^\circ \approx \arctan{\frac{1}{\sqrt{2}}} \le \angle KAD \le 45^\circ$
Sonst paßt der Kreisringabschnitt oder der Kreissektor nicht.
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Bekell
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| Beitrag No.66, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-01
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Danke, Viertel für Deine Arbeit, die Zeichnung ist genauer, und so sieht man, daß JC keine Tangente an Kreis 3 ist. Die 45° beider paralleler Geraden sind natürlich durch die Achtelung vorgegeben.
Wenn man einmal das Prinzip der meiner geometrischen Aufgabenstellung erkannt hat, durch geeignete Radien ganze Pi-Flächenwerte vorzugeben, dann ...
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_7_Kreise.png
.... sieht man hier sofort, daß die Summe eines äußeren und eines inneren grünen Zwischenstückes genau Pi/3 ist...., vorausgesetzt, man liest den Radius der kleinen Kreise richtig mit 1 ab und erkennt in der idealtypischen, aber ungenauen Zeichnung - Entschuldigung, ich hab's immer noch nicht kapiert, in GeoGebra die Kreise per Koordinaten zu platzieren, arbeite aber hart dran - den Durchmesser des großen grünen Kreises mit 6.
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viertel
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| Beitrag No.67, eingetragen 2020-05-01
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Ich habe keine Ahnung von GeoGebra [gehabt], aber diese Konstruktion ist so simpel:
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/1781_35_Grad_mit_Zirkel_und_Lineal_konstruiert_B_247047.png
• Punkt $M$ im Algebra-Fenster eingeben: M(0;0)
• Punkt $A$ auf x-Achse legen
• $M'$ als Punktspiegelung von $M$ an $A$
• $A'$ als Punktspiegelung von $A$ an $M'$
⇒ damit haben alle 4 Punkte immer den gleichen Abstand
• Kreis mit Mittelpunkt $M$ durch $A$
• Kreis mit Mittelpunkt $M'$ durch $A$
• den rechten Kreis um $60^\circ$ um $M$ drehen (Transformationen / Drehe um Punkt)
• die Drehung noch 4×
• Kreis um $M$ durch $A'$
Auf die Färbung habe ich erst mal verzichtet.
Das ist Konstruieren! Hat noch den Charme, du kannst $A$ auf der x-Achse verschieben und die ganze Zeichnung paßt sich an.
Frage:
Warum legst du dein zentrales Objekt immer neben die y-Achse? Macht doch mehr Sinn, das Zentrum einer solchen Figur in den Ursprung zu legen.
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Bekell
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| Beitrag No.68, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-01
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Danke, Viertel! Womit zeichnest Du denn? Ich kann in GeoGebra sehr schlecht diese von mir präferierten Flächen einfärben, weil sie nicht Fläche eines Objektes sind, sondern Resultatflächen. Bei Deinem System scheint das leichter zu gehen...
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viertel
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| Beitrag No.69, eingetragen 2020-05-01
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Das Färben von Teilflächen ist in GeoGebra anscheinend wirklich ein Thema, um das man sich besser drückt 😒
Ich hab da mal ein wenig rumgesucht, habe aber nichts gefunden, wie das einfach(!) zu machen wäre.
Ich gebe zu, daß die Darstellung mit GG ansprechender ist als mit DynaGeo-Euklid (GD), das ich verwende. Aber jedes Programm hat eben seine Vor- und Nachteile.
Mit DG kann ich tatsächlich Füllflächen mittels begrenzenden Objekten zurechtschneiden (dahinter steckt aber im Programm ein fauler Trick).
Mit GG kann ich Ähnliches erreichen, indem ich die Basisfläche mit weißen Flächen überdecke. Da muß ich dann aber mit Ebenen arbeiten, was gut geplant sein will. Und das Koordinatengitter wird dabei leider in Mitleidenschaft gezogen.
Der andere Weg über Algebra ist grausam.
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Bekell
Aktiv
Dabei seit: 05.09.2008
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| Beitrag No.70, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-01
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Danke, Viertel, ich glaube, diesen Faden können wir schließen ...
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