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 konvexkonkave Dreiecke |
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Bekell
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 |  Themenstart: 2020-05-01
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https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_Gr_ne_fl_chen.png
Der Radius der blauen Kreise ist 1. Die Punkte zwischen den Kreisen sind Berührungspunkte. Es handelt sich um eine idealtypische Zeichnung. Es geht um den Flächeninhalt der beiden grünen Flächen, erstens des konkaven grünen Dreiecks im gleichseitigen Dreieck BAD und der grünen konvexkoncaven Kreisrandfläche JEL, die zusammengenommen, sich in den blauen Kreisen flächengleich wiederfinden.
Die Frage ist wo, und der Beweisgang...(ich hoffe, Viertel, diesmal findest Du die Angaben als ausreichend.)
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DerEinfaeltige
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-01
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Falls du darauf hinaus willst, dass die Summe der von Kreislinien begrenzten hellgrünen Gebiete mit Ecken "CEF" sowie "JLE" flächengleich zu dem von zwei Geraden und einer Kreislinie begrenzten grünen Gebiet "EDL" ist (jeweils $\frac{1}{3}\pi$), wäre das ziemlich offensichtlich.
Allerdings ist das jetzt wieder nur geraten, was du hier willst.
Die Flächen der drei hellgrünen Gebiete sind ansonsten
$\sqrt{3} - \frac{\pi}{2}$
$\frac{5}{6}\pi - \sqrt{3}$
$5\frac{2}{3}\pi$
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Bekell
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-01
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\quoteon(2020-05-01 12:40 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 1)
Falls du darauf hinaus willst, dass die Summe der von Kreislinien begrenzten hellgrünen Gebiete mit Ecken "CEF" sowie "JLE" flächengleich zu dem von zwei Geraden und einer Kreislinie begrenzten grünen Gebiet "EDL" ist (jeweils $\frac{1}{3}\pi$), wäre das ziemlich offensichtlich.
\quoteoff
das habe ich auch! Es besteht also die Wahrscheinlichkeit, daß es richtig ist...
\quoteon
Allerdings ist das jetzt wieder nur geraten, was du hier willst.
\quoteoff
Wieso, wo hab ich mich mißverständlich ausgedrückt, oder Angabe unterschlagen?
\quoteon
Die Flächen der drei hellgrünen Gebiete sind ansonsten
$\sqrt{3} - \frac{\pi}{2}$
\quoteoff
Das konkave Dreieck EFC ist hier gemeint. Du hast 1,6125, ich habe 1,615 - das ist, von der Rundung abgesehen, wohl dasselbe.... das ist jetzt allerdings numerisch, wie kannst Du es flächenmäßig sehen?
\quoteon
$\frac{5}{6}\pi - \sqrt{3}$
\quoteoff
OK
\quoteon
$5\frac{2}{3}\pi$
\quoteoff
ist OK
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Kitaktus
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-01
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Drei Ansätze:
a) Der Kreissektor JAL ist ein Sechstel der großen Kreisfläche. Darin enthalten sind sieben Sechstel der kleinen Kreisfläche.
Die Differenz sind die beiden kleinen hellgrünen Flächen.
b) Die kleinere dieser beiden Flächen ist die Differenz aus einem gleichseitigen Dreieck (Seitenlänge 2) und einem kleinen Halbkreis.
c) Die große hellgrüne Fläche sind fünf Sechstel des großen Kreises minus elf sechstel des kleinen Kreises.
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Bekell
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-01
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\quoteon(2020-05-01 15:00 - Kitaktus in Beitrag No. 3)
a) Der Kreissektor JAL ist ein Sechstel der großen Kreisfläche. Darin enthalten sind sieben Sechstel der kleinen Kreisfläche. Die Differenz sind die beiden kleinen hellgrünen Flächen.
\quoteoff
OK
\quoteon
b) Die kleinere dieser beiden Flächen ist die Differenz aus einem gleichseitigen Dreieck (Seitenlänge 2) und einem kleinen Halbkreis.
\quoteoff
OK
\quoteon
c) Die große hellgrüne Fläche sind fünf Sechstel des großen Kreises minus elf sechstel des kleinen Kreises.
\quoteoff
OK
Aber was hat das alles mit \(\sqrt[2]{3}\) zu tun? Wo hat der Einfältige \(\sqrt[2]{3}\) her? Es scheint ja zu stimmen?
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DerEinfaeltige
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-05-01
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Weil DerEinfältige mal vor vielen Jahren als kleiner Bub gelernt hat, wie man die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks berechnet.
Wenn man es nicht auswendig weiß, helfen Pita und Gyros oder wie auch immer der Typ aus dem antiken Griechenland so hieß.
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Bekell
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-01
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\quoteon(2020-05-01 15:29 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 5)
Weil DerEinfältige mal vor vielen Jahren als kleiner Bub gelernt hat, wie man die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks berechnet.
\quoteoff
Ich hab die Fläche eine =seitigen Dreiecks Höhe mal halbe Grundseite gelernt und als Merkzahl im Hinterkopf 866.
Aha, der Groschen fällt: 866 * 2 = 1,732 = \(\sqrt[2]{3}\)
\(\frac{sqrt{3}}{2}\) = 0,866 -- das war jetzt nur so eine numerischer Blitz bei mir, als Fläche kann ich es aber immer noch nicht sehen, außer als das gleichseitige Dreieck DAD - das ist aber nicht krumm.
Okay, dann ist die mittlere grüne Fläche 1,5 -\(\sqrt[2]{3}\) - \(\frac{{2}}{3}\) Pi
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DerEinfaeltige
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| Beitrag No.7, eingetragen 2020-05-01
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Das ist eine Standardschulaufgabe zum Thema Pythagoras.
$h = \sqrt{a^2 - (\frac{1}{2}a)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a$
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Bekell
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-01
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Ja, siehst Du, die Formel hatte ich nicht im Hinterkopf und auch nicht präsent. Aber ich danke Dir zur gelungenen Mäeutik, die Geburt ist gelungen!
Noch was, kannst Du mal bitte bitte die algebraische Ableitung der Höhe explizieren, bis zur Wurzel 3 Formel vollständig ausführen? Das wäre mir sehr lieb.
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DerEinfaeltige
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| Beitrag No.9, eingetragen 2020-05-01
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Fläche:
$F(a) = \frac{1}{2} a h_a = = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$
$F(2) = \sqrt{3}$
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Bekell
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-01
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Ich meinte aus Beitrag nr. 7 wie aus der großen Pythagoras Wurzel (halbe Seite mal Seite ) die 3 unter der Wurzel entsteht auf der anderen Seite?
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DerEinfaeltige
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| Beitrag No.11, eingetragen 2020-05-01
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Indem man die bekannten Potenz- und Wurzelgesetze anwendet.
(Stichwort: Teilweises Wurzelziehen)
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Bekell
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-01
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\quoteon(2020-05-01 15:44 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 7)
Indem man die bekannten Potenz- und Wurzelgesetze anwendet.
(Stichwort: Teilweises Wurzelziehen)
$h = \sqrt{a^2 - (\frac{1}{2}a)^2}; A = \frac{\sqrt{3}}{2}a$
\quoteoff
$h^2 = {a^2 - (\frac{1}{2}a)^2}; A = \frac{\sqrt{3}}{2}a$
$h^2 = {2^2 - (\frac{1}{2}2)^2}; A = \frac{\sqrt{3}}{2}a$
$h^2 = {4 - 1^2}; A = \frac{\sqrt{3}}{2}a$
$h^2 = {3}; A = \frac{\sqrt{3}}{2}a$
$h = \sqrt{3}; A = \frac{\sqrt{3}}{2}a$
$ A = \sqrt{3} * \frac{1}{2}a$
$ A = \sqrt{3} * \frac{1}{2}2$
$ A = \sqrt{3} * 1$
$ A = \sqrt{3}$
geht das so, Einfältiger?
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DerEinfaeltige
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| Beitrag No.13, eingetragen 2020-05-01
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Falls man es nicht sofort sieht, könnte man es ausführlich vielleicht so machen.
$\sqrt{a^2-(\frac{1}{2}a)^2}$
$=\sqrt{a^2-\frac{1}{4}a^2}$
$=\sqrt{\frac{3}{4}a^2} $
$=\sqrt{3\cdot\frac{1}{4}a^2}$
$=\sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{a^2}$
$=\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2} \cdot |a|$
$=\frac{\sqrt{3}}{2}|a|$
$=\frac{\sqrt{3}}{2}a$
da $a\geq0$ gilt.
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