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| Autor |
 Haarsches Maß auf Einheitssphäre |
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lae2723
Junior 
Dabei seit: 12.05.2020
Mitteilungen: 10
 |  Themenstart: 2020-05-12
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Hallo,
in einem Beweis, den ich im Moment zu verstehen versuche, ist die Einheitssphäre $\mathbb{S}^{n-1}$ des $\mathbb{R}^n$ mit dem Haarschen Maß $\mu$ versehen. Außerdem wird folgende Menge betrachtet
$$K = \{(v,u) \in \mathbb{S}^{n-1} \times S^n_{0} : u = v \otimes v - \frac{I_{n}}{n}\}$$
und eine lineare Abbildung T folgendermaßen definiert
\[T:\begin{cases}
C(\mathbb{S}^{n-1}) \rightarrow \mathbb{R}^n \times S^n_{0} \\
f \mapsto \int_{\mathbb{S}^{n-1}} \, (v, v \otimes v - \frac{I_{n}}{n}) f(v) \, d\mu
\end{cases}\]
Dabei ist $S^n_{0}$ die Menge der symmetrischen nxn-Matrizen, deren Spur null ist.
Jetzt wird gefolgert, dass, falls $f$ $f \geq 0$ und $\int_{\mathbb{S}^{n-1}} \, f(v) \, d\mu = 1$ erfüllt, $T(f)$ in der konvexen Hülle von K liegt. Zudem wird erwähnt, dass $T(1)=0$ gilt.
Ich habe versucht die Folgerungen zu verstehen, indem ich mich zum Haarschen Maß informiert habe. Da ich aber mit dem Maß noch nie zu tun hatte, fällt es mir sehr schwer das Konzept auf mein Besipiel zu übertragen.
Über Hinweise oder Literaturempfehlungen würde ich mich sehr freuen :)
Danke!
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46789
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-12
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Hi lae2723,
ein Haarsches Maß ist auf einer Gruppe definiert.
Du hast aber nicht gesagt, welche Gruppenoperation du auf Sn-1 betrachten möchtest.
Gruß Buri
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lae2723
Junior
Dabei seit: 12.05.2020
Mitteilungen: 10
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-12
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Hallo Buri,
vielen Dank für die schnelle Rückmeldung!
Da der Beweis in einem mathematischen Paper auftaucht, ist er sehr kurz gehalten. Dort wird nicht weiter ausgeführt um welche Gruppenoperation es sich handelt.
Gruß Lae
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lae2723
Junior 
Dabei seit: 12.05.2020
Mitteilungen: 10
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-16
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Ich habe gelesen, dass die Einheitssphäre als homogener Raum $SO(n)/SO(n-1)$ aufgefasst werden kann. Die Gruppe, die betrachtet wird, ist also die spezielle orthogonale Gruppe $SO(n)$ und für das Haar-Integral gilt dann
$$\int_{\mathbb{S}^{n-1}} f(Av) \: dv = \int_{\mathbb{S}^{n-1}} f(v) \: dv$$ für $A\in SO(n)$ und auf der Einheitssphäre integrierbare Funktionen $f$.
Ich vermute, dass man wegen der Invarianz des Integrals bzgl. der Gruppenoperation einen beliebigen Vektor wählen kann, aber konkret kann ich mir die Folgerungen noch nicht erklären.
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