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 Semiring und Prämaß nachweisen |
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Carmen_Wag
Junior 
Dabei seit: 13.05.2020
Mitteilungen: 20
 |  Themenstart: 2020-05-13
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Hallo, Leute
Ich soll eine Aufgabe bearbeiten, an der ich seit ein paar Tagen verzweifle😖
Sie lautet:
Sei $T:= \{ (a, b]\; \vert \; a, b \in \mathbb{R} \}$ der Semiring der halboffenen Intervalle in $\mathbb{R}$.
Zeige, dass $T_{\mathbb{Q}}:= T \cap \mathbb{Q}$ ein Semiring in $\mathbb{Q}$ ist und dass $P(\mathbb{Q}) = F(T_{\mathbb{Q}})$.
Zeige ferner, dass durch $\mu(A) := \vert A \vert\quad \forall A \in T_{\mathbb{Q}}$
ein Prämaß auf $(\mathbb{Q}, T_{\mathbb{Q}})$ definiert ist.
Ist $\mu$ $\sigma$ - endlich auf $T_{\mathbb{Q}}$ ?
Man gebe zwei Fortsetzungen $\mu_{1}$ und $\mu_{2}$ von $\mu$ auf $(\mathbb{Q}, P(\mathbb{Q}))$ an, so dass $\mu_{1}$ $\sigma$ - endlich in $P(\mathbb{Q})$ und $\mu_{2}$ nicht $\sigma$ - endlich in $P(\mathbb{Q})$ ist.
Ich kann die Aufgabe quasi nicht bearbeiten, weil ich teilweise nicht einmal weiß, wie die Mengen in der Aufgabenstellung aussehen.
Ich versuche meine Fragen zu der Aufgabe zu formulieren.
Wenn ich eine Antwort auf die Frage finde, dann könnte ich vielleicht einen Ansatz entwickeln.
1.) Wie soll die Menge $T_{\mathbb{Q}}:= T \cap \mathbb{Q}$ aussehen ?
Ich meine, $T$ ist eine Menge von Mengen und $\mathbb{Q}$ ist eine Menge von Zahlen.
Diese beiden Mengen kann man doch nicht vergleichen, also warum davon der Schnitt bilden ? Das ergibt für mich keinen Sinn...
2.) Wie kann man vorgehen, um die Gleichung $P(\mathbb{Q}) = F(T_{\mathbb{Q}})$ zu zeigen?
Mit $P(\mathbb{Q})$ meint man, denke ich, die Potenzmenge von $\mathbb{Q}$. Das $P$ ist im Aufgabenblatt geschwungen.
Und ich denke, mit $F(T_{\mathbb{Q}})$ meint man die von $T_{\mathbb{Q}}$ erzeugte $\sigma$ - Algebra.
Die Definition einer erzeugten $\sigma$ - Algebra lautet:
Sei $\varepsilon$ ein beliebiges System von Teilmengen einer Menge $\Omega \neq \emptyset$ und sei $\Sigma$ das System aller $\sigma$ - Algebren $F$ in $\Omega$ mit $\varepsilon \subseteq F$.
Dann ist $F(\epsilon) := \bigcap\limits_{F \in \Sigma} F := \{ A\; \vert ; A \in F\quad \forall F \in \Sigma \}$
die kleinste $\sigma$ - Algebra, die alle Mengen aus $\varepsilon$ enthält, also $\varepsilon \subseteq F(\varepsilon)$
$F(\varepsilon)$ heißtdie von $\varepsilon$ erzeugte $\sigma$ - Algebra.
3.) Was meint man mit Fortsetzungen auf $\mu$ ? Ich habe davon leider auch keinen blassen Schimmer...
Wäre nett, wenn jemand mir helfen könnte.
Liebe Grüße
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sonnenschein96
Senior 
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 705
| Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-13
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Hallo Carmen_Wag,
ich schätze mal mit \(T_\mathbb{Q}\) ist die Menge \(\{(a,b]\cap\mathbb{Q}\,|\,a,b\in\mathbb{R}\}\) gemeint.
Zu \(P(\mathbb{Q})=F(T_\mathbb{Q})\): Die Inklusion "\(\supseteq\)" ist trivial. Um "\(\subseteq\)" zu zeigen, musst Du jede Teilmenge \(A\) von \(\mathbb{Q}\) mittels Opertationen die in einer \(\sigma\)-Algebra erlaubt sind durch Mengen aus \(T_\mathbb{Q}\) ausdrücken. Zunächst ist ja \(A=\cup_{a\in A}\{a\}\) und die Vereinigung ist abzählbar, d.h. es wäre hlifreich sich zu überlegen, warum einelementige Mengen in \(F(T_\mathbb{Q})\) enthalten sind.
Zur Fortsetzung: Du sollst zwei Maße \(\mu_1,\mu_2\) auf \(P(\mathbb{Q})\) finden, mit \(\mu_1(A)=\mu_2(A)=\mu(A)\) für alle \(A\in T_\mathbb{Q}\).
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Carmen_Wag
Junior
Dabei seit: 13.05.2020
Mitteilungen: 20
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-14
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Hey :)
Danke für deine Erklärungen, jetzt ist es mir ein bisschen klarer.
Wir haben also die Mengen
$P(\mathbb{Q}) = \{A \; \vert \; A \subseteq \mathbb{Q} \}$
$T_{\mathbb{Q}} = \{ (a, b] \cap \mathbb{Q}\; \vert a, b \in \mathbb{R} \} = \left \{ \left \{ q \in \mathbb{Q} \; \vert \; q \in [a, b] \right \}\; \vert \, a, b \in \mathbb{R} \right \}$
$F(T_{\mathbb{Q}})$ ist, nach der Definition einer erzeugten $\sigma$ - Algebra im Anfangspost, so definiert:
Sei also $\Omega = \mathbb{Q}$ und $\varepsilon = T_{\mathbb{Q}}$ ein System von Teilmengen von $\Omega = \mathbb{Q}$.
Sei $\Sigma$ das System aller $\sigma$ - Algebren $F$ in $\Omega = \mathbb{Q}$ mit $\varepsilon = T_{\mathbb{Q}} \subseteq F$.
Es ist dann $F(T_{\mathbb{Q}}) = \bigcap\limits_{F \in \Sigma} F = \{ A\; \vert \; A \in F,\quad F \in \Sigma \}$
An dieser Stelle habe ich zwei kleine Fragen:
1.) Mit dem "System" aller $\sigma$ - Algebren $F$ in $\Omega = \mathbb{Q}$ mit $\varepsilon = T_{\mathbb{Q}} \subseteq F$ ist nur die Menge aller $F$ mit dieser Eigenschaft gemeint, oder ?
2.) Woher weiß man, dass $\Sigma \neq \emptyset$ ? Weil zumindest die Potenzmenge $P(\mathbb{Q})$ eine $\sigma$ - Algebra in $\Omega = \mathbb{Q}$ ist ?
Dann kommen wir zur Gleichheit $P(\mathbb{Q}) = F(T_{\mathbb{Q}}) $
"$\supseteq$"
Sei $A \in F(T_{\mathbb{Q}})$.
Dann ist $A$ in jeder $\sigma$ - Algebra $F$ in $\mathbb{Q}$ enthalten, die $T_{\mathbb{Q}}$ enthält.
Jede $\sigma$ - Algebra in $\mathbb{Q}$ ist in $P(\mathbb{Q})$ enthalten.
Also ist $ \in P(\mathbb{Q})$
"$\subseteq$"
Sei $A \in P(\mathbb{Q})$.
Es ist $A = \bigcup\limits_{a \in A } \{a \}$
Nun gilt $T_{\mathbb{Q}} \subseteq F(T_{\mathbb{Q}})$.
Also gilt $[a, b] \cap \mathbb{Q} \in F(T_{\mathbb{Q}})\quad \forall a, b \in \mathbb{R}$.
Wähle $a = b$. Dann gilt auch $[a, a] \cap \mathbb{Q} = \begin{cases}
\{ a \},\; \text{falls}; a \in \mathbb{Q} \\
\emptyset, \; \text{falls}; a \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}
\end{cases} \in F(T_{\mathbb{Q}})$.
Also enthält $F(T_{\mathbb{Q}})$ alle einelementigen Mengen von $P(\mathbb{Q})$.
Da $F(T_{\mathbb{Q}})$ eine $\sigma$ - Algebra in $\mathbb{Q}$ ist, ist sie vereinigungsstabil.
Das heißt, es gilt $\bigcup\limits_{a \in A } \{a \} = A \in F(T_{\mathbb{Q}})$
Damit ist die Gleichheit gezeigt und es gilt $P(\mathbb{Q}) = F(T_{\mathbb{Q}}) $.
Ist der Beweis so stimmig?
Liebe Grüße, Carmen
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sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 705
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-14
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\(\Sigma\neq\emptyset\) folgt aus \(P(\mathbb{Q})\in\Sigma\), ja.
System ist einfach ein anderes Wort für Menge.
Dein Beweis ist im Prinzip richtig, Du müsstest aber noch begründen, warum \([a,b]\cap\mathbb{Q}\in F(T_\mathbb{Q})\) ist für alle \(a,b\in\mathbb{R}\).
Beachte, dass in \(T_\mathbb{Q}\) nur Mengen der Form \((a,b]\cap\mathbb{Q}\) (halboffen) enthalten sind.
Wichtig ist auch noch, dass \(\sigma\)-Algebren nur vereinigungsstabil bezüglich abzählbarer (aber nicht beliebigen) Vereinigungen sind.
Das ist auch der Grund dafür, dass wir hier über \(\mathbb{Q}\) arbeiten.
(Die von halboffenen Intervallen in \(\mathbb{R}\) erzeugte \(\sigma\)-Algebra ist kleiner als \(P(\mathbb{R})\).)
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Carmen_Wag
Junior
Dabei seit: 13.05.2020
Mitteilungen: 20
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-15
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Hallo, sorry wegen der Verspätung! Hatte noch zu tun😲
\quoteon(2020-05-14 19:45 - sonnenschein96 in Beitrag No. 3)
Dein Beweis ist im Prinzip richtig, Du müsstest aber noch begründen, warum \([a,b]\cap\mathbb{Q}\in F(T_\mathbb{Q})\) ist für alle \(a,b\in\mathbb{R}\).
Beachte, dass in \(T_\mathbb{Q}\) nur Mengen der Form \((a,b]\cap\mathbb{Q}\) (halboffen) enthalten sind.
\quoteoff
Oh, ich sehe... Ich habe unbewusst angenommen, dass \([a,b]\cap\mathbb{Q}\in F(T_\mathbb{Q})\) für alle \(a, b \in \mathbb{R}\), obwohl wir eigentlich nur halboffene Intervalle betrachten.
Wie kann man das begründen ?
In der Aufgabe musste ich weiter zeigen, dass \(T_{\mathbb{Q}}\) ein Semiring in \(\mathbb{Q}\) ist.
Aber damit habe ich noch Probleme.
Behauptung:
\(T_{\mathbb{Q}}\) ist ein Semiring in \(\mathbb{Q}\)
Beweis:
z.z.:
(i) \(\emptyset \in T_{\mathbb{Q}}\)
(ii) \(A, B \in T_{\mathbb{Q}} \Rightarrow A \cap B \in T_{\mathbb{Q}}\)
(iii) \(A, B \in T_{\mathbb{Q}}, B \subseteq A \Rightarrow \exists n \in \mathbb{N}\) und \(c_{1}, \ldots, c_{n} \in T_{\mathbb{Q}}\) mit \(c_{i} \cap c_{j} = \emptyset\) für \(i \neq j\) derart, dass \(A \setminus B = \bigcup\limits_{i = 1}^{n} c_{i}\)
Zu (i):
Ich weiß noch nicht, warum \([a,b]\cap\mathbb{Q}\in F(T_\mathbb{Q})\) für alle \(a,b\in\mathbb{R}\) gilt. Aber das blende ich hier kurz aus.
Es gilt $[a, a] \cap \mathbb{Q} = \emptyset \in T_{\mathbb{Q}}$ für $a \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$
Zu $(ii)$
Seien $A_{1}, A_{2} \in T_{\mathbb{Q}}$.
Dann haben $A_{1}$ und $A_{2}$ die Form
$A_{1} = (a_{1}, b_{1}] \cap \mathbb{Q}$ und $A_{2} = (a_{2}, b_{2}] \cap \mathbb{Q}$
Es gilt $A_{1} \cap A_{2} = (a_{1}, b_{1}] \cap \mathbb{Q} \cap (a_{2}, b_{2}] \cap \mathbb{Q} = (a_{1}, b_{1}] \cap (a_{2}, b_{2}] \cap \mathbb{Q}$
Wie kann man hier kompakt zeigen, dass der Schnitt zweier halboffener Mengen wieder halboffen ist ?
Ich habe vorhin versucht, das zu zeigen, hatte allerdings zu viele Fallunterscheidungen...
Zu (iii):
Seien $A_{1}, A_{2} \in T_{\mathbb{Q}}$ mit $A_{2} \subseteq A_{1}$.
Dann haben $A_{1}$ und $A_{2}$ die Form
$A_{1} = (a_{1}, b_{1}] \cap \mathbb{Q}$ und $A_{2} = (a_{2}, b_{2}] \cap \mathbb{Q}$ und es gilt zusätzlich
$(a_{2}, b_{2}] \cap \mathbb{Q} \subseteq (a_{1}, b_{1}] \cap \mathbb{Q}$
Ich habe hier leider keine Idee, wie ich zeigen soll, dass es ein $n \in \mathbb{N}$ gibt und $c_{1}, \ldots, c_{n} \in T_{\mathbb{Q}}$ mit \(c_{i} \cap c_{j} = \emptyset\) für \(i \neq j\) derart, dass $A_{1} \setminus A_{2} = \bigcup\limits_{i = 1}^{n} c_{i}$.
Kannst du mir vllt auch einen Tipp geben ?
Vielen Dank für deine Geduld und freue mich auf eine Rückmeldung :-)
Lg, Carmen
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sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 705
| Beitrag No.5, eingetragen 2020-05-16
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Zu (i): Die Begründung stimmt nicht ganz, da wir bei \(T_\mathbb{Q}\) ja nur halboffene Intervalle betrachten. Allerdings ist ja auch stets \((a,a]=\emptyset\) für alle \(a\in\mathbb{R}\).
Zu (ii): Dort wirst Du um eine Fallunterscheidung wohl kaum herumkommen.
Zu (iii): Beachte, dass wenn \((a_2,b_2]\subseteq(a_1,b_1]\) ist, \((a_1,b_1]\setminus(a_2,b_2]=(a_1,a_2]\cup(b_2,b_1]\) gilt.
Zu \([a,b]\cap\mathbb{Q}\in F(T_\mathbb{Q})\): Es gilt ja \([a,b]=\cap_{\varepsilon>0}(a-\varepsilon,b]\). Die Mengen \((a-\varepsilon,b]\cap\mathbb{Q}\) sind in \(T_\mathbb{Q}\) enthalten. Allerdings ist dies ein Schnitt überabzälbar vieler Mengen. Überlege Dir, wie Du dies ähnlich auch als einen Schnitt abzählbar vieler Mengen schreiben kannst.
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Carmen_Wag
Junior
Dabei seit: 13.05.2020
Mitteilungen: 20
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-16
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So, hallo nochmal!
Danke für deine Tipps, die haben geholfen.
Zu $(ii)$
Seien $A_{1}, A_{2} \in T_{\mathbb{Q}}$.
Dann haben $A_{1}$ und $A_{2}$ die Form
$A_{1} = (a_{1}, b_{1}] \cap \mathbb{Q}$ und $A_{2} = (a_{2}, b_{2}] \cap \mathbb{Q}$
Es gilt $A_{1} \cap A_{2} = (a_{1}, b_{1}] \cap \mathbb{Q} \cap (a_{2}, b_{2}] \cap \mathbb{Q} = (a_{1}, b_{1}] \cap (a_{2}, b_{2}] \cap \mathbb{Q}$
Es ist $(a_{1}, b_{1}] \cap (a_{2}, b_{2}] = \begin{cases}
(a_{1}, b_{1}] & \; \text{falls}\; a_{2} \le a_{1}, b_{1} \le b_{2} \\
(a_{2}, b_{2}] & \; \text{falls}\; a_{1} \le a_{2}, b_{2} \le b_{1} \\
\emptyset & \; \text{falls}\; a_{1} > a_{2}, b_{2}\; \text{oder}\; a_{2} > a_{1}, b_{1} \\
(a_{1}, b_{2}] & \; \text{falls}\; a_{2} \le a_{1}, b_{2} \le b_{1} \\
(a_{2}, b_{1}] & \; \text{falls}\; a_{1} \le a_{2}, b_{1} \le b_{2}
\end{cases}$
Das müssten alle Fälle sein. Korrigiere mich bitte, wenn das doch nicht alle sind.
Damit ist der Schnitt $(a_{1}, b_{1}] \cap (a_{2}, b_{2}] $ wieder ein halboffenes Intervall.
Also ist $(a_{1}, b_{1}] \cap (a_{2}, b_{2}] \cap \mathbb{Q} \in T_{\mathbb{Q}}$.
Zu (iii)
Seien $A_{1}, A_{2} \in T_{\mathbb{Q}}$ mit $A_{2} \subseteq A_{1}$.
Dann haben $A_{1}$ und $A_{2}$ die Form
$A_{1} = (a_{1}, b_{1}] \cap \mathbb{Q}$ und $A_{2} = (a_{2}, b_{2}] \cap \mathbb{Q}$ und es gilt zusätzlich
$(a_{2}, b_{2}] \cap \mathbb{Q} \subseteq (a_{1}, b_{1}] \cap \mathbb{Q}$
Dann haben wir
$A_{1} \setminus A_{2} = (a_{1}, b_{1}] \cap \mathbb{Q} \setminus (a_{2}, b_{2}] \cap \mathbb{Q} \overset{\text{?}}{\underset{\text{}}{=}} ( (a_{1}, b_{1}] \setminus (a_{2}, b_{2}] ) \cap \mathbb{Q} \overset{\subseteq}{\underset{\text{}}{=}} ( (a_{1}, a_{2}] \cup (b_{2}, b_{1} ] ) \cap \mathbb{Q}$
$ = \underbrace{(a_{1}, a_{2}] \cap \mathbb{Q}}_{=:\; c_{1}} \cup \underbrace{(b_{2}, b_{1} ] \cap \mathbb{Q}}_{=:\; c_{2}} $
Und $c_{1}$ und $c_{2}$ sind offensichtlich disjunkt.
Also ist $T_{\mathbb{Q}}$ ein Semiring.
Was ich noch nicht begründen kann, ist die zweite Gleichung. Gilt diese überhaupt ? Ich habe die Gültigkeit erst einmal angenommen, um zu sehen, wie weit ich komme.
Anscheinend komme ich zur Lösung. Daher die Frage: Gilt die Gleichung ? Falls ja, aus welchem Satz folgt das ?
\quoteon(2020-05-16 01:14 - sonnenschein96 in Beitrag No. 5)
Zu \([a,b]\cap\mathbb{Q}\in F(T_\mathbb{Q})\): Es gilt ja \([a,b]=\cap_{\varepsilon>0}(a-\varepsilon,b]\). Die Mengen \((a-\varepsilon,b]\cap\mathbb{Q}\) sind in \(T_\mathbb{Q}\) enthalten. Allerdings ist dies ein Schnitt überabzälbar vieler Mengen. Überlege Dir, wie Du dies ähnlich auch als einen Schnitt abzählbar vieler Mengen schreiben kannst.
\quoteoff
Hm, ich hätte da keine so richtige Idee.
Könnte man nicht einfach sagen, dass $\varepsilon \in \mathbb{Q}^{+ } \setminus \{ 0 \}$ sein soll ?
Dann hätten wir den Schnitt abzählbarer vieler Mengen
$[a, b] = \bigcap\limits_{\varepsilon \in \mathbb{Q}^{+ } \setminus \{ 0 \}} (a - \varepsilon, b]$
Freue mich auf einen Feedback :-)
lg, Carmen
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