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Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » Lie-Algebra als Kategorie auffassen
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Universität/Hochschule J Lie-Algebra als Kategorie auffassen
Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-14


Hey,
ich habe öfters gesehen, dass man eine Gruppe G als Kategorie C auffassen kann: Ob(C) besteht aus einem Objekt X. Mor(X,X) besteht aus allen Elementen in G, wobei die Komposition die Gruppenverknüpfung ist.
Betrachtet man einen Funktor F:C->Set, so erhält man eine Gruppenwirkung.
Betrachtet man einen Funktor F:C->Vect_K, so erhält man eine lineare Darstellung der Gruppe G.
Analoges kann man mit einer (assoziativen und unitären) K-Algebra (A,+,*) machen. Objekt erneut X und Mor(X,X) besteht aus allen Elementen aus A mit * als Komposition. Nun hat Mor(X,X) eine K-Vektorraumstruktur via +.
Ein K-linearer Funktor F:C->Vect_K ist eine Darstellung dieser K-Algebra.

Jetzt möchte ich Analoges für eine Lie-Algebra machen. Ich möchte die Lie-Algebra als eine Kategorie auffassen und dann einen Funktor nach Vect_K auffassen, sodass man das Setting einer Darstellung bekommt.
Hat jemand eine Idee wie das gehen sollte?

Danke!



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-09


Die Assoziativität der Komposition ist eine wesentliche Eigenschaft einer Kategorie. Nun fehlt per Definition Liealgebren aber die Assoziativität. Insofern stellt sich hier schon einmal grundsätzlich die Frage, ob es eine solche Beschreibung geben kann.

Was man hier benutzen kann, ist die universelle einhüllende Algebra $U(L)$ einer Liealgebra $L$. Es ist (das kann man als Definition nehmen) $U$ linksadjungiert zum Funktor, der einer assoziativen Algebra die zugehörige Liealgebra mit $[a,b] := ab-ba$ zuordnet. Aus dieser universellen Eigenschaft ergibt sich sofort, dass eine (Lie-)Darstellung von $L$ dasselbe wie eine (gewöhnliche) Darstellung von $U(L)$, also ein $U(L)$-Modul ist: Man hat einen Isomorphismus von Kategorien $\mathrm{Rep}(L) \cong \mathrm{Rep}(U(L))$.

Du kannst nun dein Wissen, wie man assoziative Algebren bzw. ihre Moduln als lineare Kategorien bzw. Funktoren ansehen kann, auf $U(L)$ anwenden.

Man darf hier aber nicht $L$ mit $U(L)$ als Algebra identifizieren. Tatsächlich ergibt sich aus der universellen Eigenschaft, dass $U(L)$ eine kokommutative Hopfalgebra ist. Man kann zeigen, dass die Homomorphismen von Liealgebren $L \to L'$ gerade den Homomorphismen von Hopfalgebren $U(L) \to U(L')$ entsprechen. Der Funktor $U$ ist also nur dann volltreu und kann insofern als alternative Repräsentation von Liealgebren gesehen werden, wenn wir im Ziel die richtigen Objekte und Morphismen wählen.

Es bleibt also die Frage, ob man Hopfalgebren als Kategorien auffassen kann. Direkt fällt mir nichts ein. Aber andere Sichtweisen sind da schon praktischer. Zum Beispiel lassen sich kommutative Hopfalgebren mit affinen Gruppenschemata in der algebraischen Geometrie identifizieren. Außerdem kann man Lie- bzw. Hopfalgebren wichtige Kategorien zuordnen, nämlich ihre Kategorien von Darstellungen. Inwieweit sie darüber rekonstruiert werden könnnen, wird unter dem Stichwort Tannaka-Dualität untersucht.



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