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Funktionentheorie » Holomorphie » Existenz einer biholomorphen Funktion
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Universität/Hochschule J Existenz einer biholomorphen Funktion
radler223
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  Themenstart: 2020-05-18

Hey, nochmal eine Aufgabe aus einem alten Examen. Man soll begründen, ob eine biholomorphe Abbildung von \(S = \{z \in \mathbb{C}: -1 < Im(z)<1\}\) nach \(\mathbb{C}\) existiert. In der Musterlösung begründen sie die Nicht-Existenz mit dem kleinen Satz von Piccard. Argumentation versteh ich auch. Mein erster Gedanke war nun, ob man da nicht auch mit dem Riemann'schen Abbildungssatz argumentieren kann. Nach dem Satz kann man ja nur jedes einfach zusammenhängende Gebiet \(G \neq \mathbb{C}\) biholomorph auf die offene Einheitskreisscheibe \(\mathbb{E}\) abbilden. Daher gibt es keine biholomorphe Abbildung von \(\mathbb{C}\) nach \(\mathbb{E }\) und ich kann damit eine Abbildung von \(S \rightarrow \mathbb{C}\) nicht als Verknüpfung zweier biholomorpher Abbildungen schreiben. Die zugrunde liegende Frage, bzw. Problematik ist, ob ich jede biholomophe Abbildung zwischen zwei Gebieten \(G_1\) und \(G_2\) als Komposition zweier biholomorpher Abbildungen von \(G_1 \rightarrow \mathbb{E}\) und \(\mathbb{E} \rightarrow G_2\) schreiben kann. Vielleicht weiß da ja jemand dazu was. Viele Grüße und Danke Radler223


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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\) Hallo radler233, ja, du kannst hier problemlos über den Riemannschen Abbildungssatz argumentieren, wobei du dann noch kurz Liouville in Anspruch nehmen musst, statt Picard. Wenn eine biholomorphe Abbildung $f:S\to\C$ existieren würde, und $g:S\to\E$ eine biholomorphe Abbildung ist (die nach Abbildungssatz existiert), dann wäre $f\circ g^{-1}:\E\to\C$ eine biholomorphe Abbildung. Diese existiert aber nicht, denn ihre Umkehrabbildung wäre beschränkt und ganz, also nach Liouville konstant, kann also nicht biholomorph sein. Allgemein kann man sagen, dass konforme Äquivalenz eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Gebiete ist, und $\C$ und $\E$ liegen dabei in unterschiedlichen Äquivalenzklassen. Eine Menge, die zu $\E$ konform äquivalent ist, kann also nicht zu $\C$ konform äquivalent sein. Das ist auch eigentlich die Kernaussage des Abbildungssatzes: Er liefert alle Äquivalenzklassen von Elementargebieten. Viele Grüße Vercassivelaunos \(\endgroup\)


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radler223
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-18

Top, danke dir! Der zweite Teil scheint in die Topologie? reinzugehen, da bin ich dann leider raus, weil ich das nie gehört. Danke trotzdem Radler223


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radler223 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
radler223 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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