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Gewöhnliche DGL » Systeme von DGL » Homogenes DGL-System 1. Ordnung mit nichtkonstanten Koeffizienten, Fundamentalsystem beweisen
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Universität/Hochschule Homogenes DGL-System 1. Ordnung mit nichtkonstanten Koeffizienten, Fundamentalsystem beweisen
LmDaH
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-18


Hallo!

Ich sitze hier an einem Problem zu einem linearen DGL System mit nichtkonstanten Koeffizienten. Das haben wir noch gar nicht behandelt daher stehe ich gerade auf dem Schlauch...

Zeige, dass ${v1} = e^{t^2/2}(-sinh(t),cosh(t))^T$ and ${v2} = e^{t^2/2}(-cosh(t), sinh(t))^T$ ein Fundamentalsystem von $x'(t)=(t,-1;-1,t)x(t)$ bilden.

Wäre echt super wenn mir da jemand helfen kann!

Viele Grüße, LmDaH

Edit: Hätte ich Konstante Koeffizienten könnte man ja einfach das Fundamentalsystem in die DGL einsetzen, aber so funktioniert das nicht.



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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-18


Hallo LmDaH,
herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!

Schön, dass Du schon in Deinem ersten Beitrag $\LaTeX$ verwendest. 😄

Welche Bedingungen muss ein Fundamentalsystem erfüllen?

Einsetzen, um festzustellen ob $v_1$ und $v_2$ die Differentialgleichung erfüllen, ist eine gute Idee. Wieso glaubst Du, dass das nicht funktionieren sollte?

Servus,
Roland

PS: Die $\LaTeX$-Befehle für $\sinh(t)$ und $\cosh(t)$ sind \sinh(t) und \cosh(t), damit werden die Funktionen so dargestellt, wie Donald Knuth das wollte.



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LmDaH
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-18


Hallo Roland,
danke erstmal!
...bei uns wurde die Fundamentalmatrix bisher nur im Sinne von DGL Systemen mit konstanten Koeffizienten definiert, unter anderem ist mir da natürlich $Φ'(t)=A*Φ(t)$ bekannt. Ich habe probiert das System dort einzusetzen aber das vereinfachen ist viel zu viel Aufwand oder eventuell wegen der nichtkonstanz sogar unmöglich, das weiß ich nicht.
Da man eben die ganzen t's auch noch mit drin hat.

Viele Grüße, LmDaH

Ergänzend sollte ich noch sagen, dass ich nicht Mathematik studiere sondern Maschinenbau, heißt ich habe keine sehr fortgeschrittenen oder tiefgehenden Kenntnisse von evtl spezielleren Theorien.



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LmDaH
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-19


Wäre wirklich cool wenn mir da jemand einen Tipp geben kann



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-05-19


Ich weiß nicht, auf welchen Tipp du noch wartest. Roland hat es doch geschrieben.

1. Setze die vorgegebenen Lösungen in die Dgl. ein und stelle fest, ob es Lösungen sind. Dabei ist es völlig egal, ob die Koeffizienten konstant oder variabel sind. Alles was man können muss, ist Ableiten und eine Matrix-Vektor-Multiplikation.

2. Je nachdem wie ihr es gemacht habt: stelle fest, dass die Lösungen linear unabhängig sind.

Mehr ist nicht zu tun.

Viele Grüße

Wally



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LmDaH
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-19


Hallo,

das Problem ist, dass ich beim einsetzen etliche sinh und cosh Terme bekomme und einfach nicht zeigen kann, dass beide Seiten das selbe sind...

Setze ich bspw. den ersten Vektor in die DGL ein bekomme ich nach etwas Vereinfachung so etwas wie:
$2te^(t^2/2)*((-cosh(t),(sinh(t)) = e^(t^2/2)*((-sinh(t)*t-cosh(t)),(sinh(t)+cosh(t)*t)$

ich weiß nicht wie ich da eine Äquivalenz zeigen soll.



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-05-19


Dir ist schon klar, dass du auf der linken Seite ableiten musst, oder?

Viele Grüße

Wally



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LmDaH
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
2020-05-19 21:24 - Wally in Beitrag No. 6 schreibt:
Dir ist schon klar, dass du auf der linekn Seite ableiten musst, oder?

Viele Grüße

Wally

Das ist doch abgeleitet...
Ableitung von $v1 = e^(t^2/2)*(-sinh(t),cosh(t))$
ergbibt
$v1' = 2te^(t^2/2)*(-cosh(t),sinh(t))$

e1: hoppla hab die 1/2 vergessen, mal gucken obs jetzt geht.
e2: naja ne, der Faktor hat sowieso nicht gestört... stecke wieder fest.
e3: Falls deine Frage auf die komisch aussehende rechte Seite bezogen war, die ist aus der Matrix vektor multilikation A(t)*v1 entstanden.
\(\endgroup\)


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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-05-19


Produktregel???

Viele Grüße

Wally



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LmDaH
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-19


oh, peinlich. Danke hat funktioniert .



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