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Funktionentheorie » Holomorphie » Wieso gilt f' = u_x + i v_x?
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Universität/Hochschule Wieso gilt f' = u_x + i v_x?
Newmath2012
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  Themenstart: 2020-05-23

Liebe Community, wie bereits im Titel ersichtlich, würde ich gerne wissen, wie man sieht/beweist, dass für eine holomorphe Funktion $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ gilt, dass $f(z) = Re f_x(z) + i \cdot Im f_x(z)$ ist. Dazu habe ich folgendes pdf online gefunden: https://www.math.uni-hamburg.de/home/oberle/skripte/komplex/komplex04.pdf Auf den ersten 4 Seiten wird dabei hergeleitet, wann eine Funktion komplex differenzierbar ist und dass da, was ich zeigen möchte, gilt. Ich verstehe in dem pdf den Zusammenhang zwischen der Herleitung und der Folgerung aber leider nicht. Darum würde ich mich über eure Erklärungen freuen!


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Kezer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-23

Nach CR-DGL hat die Jacobi-Matrix die Form $\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$. Berechne jetzt mal die beiden Terme $$ \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \quad \text{und} \quad (a+ib)(x+iy).$$ Was fällt dir auf?


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qzwru
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  Beitrag No.2, eingetragen 2020-05-23

Hallo zusammen, also die CR-DGL muss man eigentlich nicht bemühen, das folgt direkt aus der Definition der Ableitung und des Grenzwertes. Für jede Nullfolge $(h_n)_n \subset \mathbb C \setminus \{0\}$ gilt $f'(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{f(z+h_n) - f(z)}{h_n}$ also insbesondere auch für jede Nullfolge $(h_n)_n \subset\mathbb R \setminus \{0\}$. Inbesondere ist also $f$ (und damit auch Real- und Imaginärteil von $f$) partiell nach $x$ differenzierbar mit $\partial_x f(z) = f'(z)$.


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Newmath2012
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-25

Hallo Kezer, danke für deine Antwort. Ich habe leider nicht verstanden, worauf du hinaus willst. Der erste Term ist $\left( \begin{array}{cc} a & -b \\ b & a \\ \end{array} \right)\left(\begin{array} x \\ y\end{array}\right)= \left(\begin{array}{c}ax-by \\ bx+ay\end{array}\right)$ und der zweite ergibt $ax+aiy+ibx-by$. Was nun? Hallo qwzru, danke auch dir für deine Hilfe! Deine erste Aussage ist mir klar, die Folgerung ab "insbesondere" verstehe ich aber leider nicht und auch nicht, wieso wir speziell die Nullfolgen aus $\mathbb{R}$ brauchen. Könntest du sie bitte noch näher erläutern?


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Kezer
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  Beitrag No.4, eingetragen 2020-05-25

Was ist der Realteil und was ist der Imaginärteil von dem Term, das du ausgerechnet hast? Was fällt dir jetzt auf? Zur Antwort von qzwru, in deinem Resultat ist die rechte Seite eine partielle Ableitung nach $x$, also sollte man mal versuchen bloß in $x$ Richtung abzuleiten. Nach Definition ist das aber $f'$. Genau das macht qzwru.


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Newmath2012
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-27

Hallo Kezer, der Realteil ist ax-by und der Imaginärteil bx+ay, was auch mit dem Spaltenvektor, den wir als Ergebnis der Matrix-Vektor-Multiplikation bekommen haben, übereinstimmt. Ich stehe aber immer noch auf der Leitung, wie das nun das Gewünschte zeigt. Ja, das dachte ich mir schon. Aber bedeutet das, wir betrachten eben eine Nullfolge, die nur aus Realteil besteht und wenn wir aber die Ableitung nach y haben wollen würden, würden wir eine Nullfolge betrachten, die nur aus Imaginärteil besteht? Somit müssten wir dann genauso erhalten können, dass $f'(z) = Re f_y(z) + i Im f_y(z)$, richtig?


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Kezer
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  Beitrag No.6, eingetragen 2020-05-27

Das Wichtige bei diesem Argument ist die Identifikation der $\mathbb{R}$-Vektorräume $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2$. Das ist anfangs tatsächlich ein wenig verwirrend. Bezüglich dieser Identifikation ist in $\mathbb{C}$ die Multiplikation mit einer komplexen Zahl eine lineare Abbildung (genauer hat die Abbildung die Form einer Drehmatrix). Was ist die Definition der Jacobi-Matrix von $f$ is $x_0$? Es ist die (eindeutige) lineare Abbildung, sodass $$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)-J(x-x_0)}{x-x_0} = 0$$ gilt. Was ist $f'(z_0)$? Es ist die eindeutige komplexe Zahl, sodass $$\lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)-c(z-z_0)}{z-z_0} = 0$$ gilt. (Falls das nicht aus der Definition klar ist, solltest du das nachrechnen.) Mit unserer Identifikation $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2$ wollen wir also die komplexe Zahl finden, die die gleiche Wirkung wie die Jacobi-Matrix hat. Das folgt aber aus deiner Bemerkung in Beitrag No. 5. (Das Problem ist, dass die meisten Dozenten/Bücher leider nicht genug betonen, dass die Ableitung keine Zahl sein sollte, sondern eine lineare Abbildung. Von der reellen Analysis im $\mathbb{R}^1$ bekommt man den Eindruck vermittelt, dass $f'(x)$ eine Zahl sein sollte, "besser" wäre es aber sie als reelle Abbildung $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ aufzufassen. Hierzu wollte ich eigentlich mal einen Blogartikel schreiben, muss also wohl mal dazu kommen.)


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Buri
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Wohnort: Dresden
  Beitrag No.7, eingetragen 2020-05-27

\quoteon(2020-05-27 16:24 - Newmath2012 in Beitrag No. 5) ... müssten wir dann genauso erhalten können, dass $f'(z) = Re f_y(z) + i Im f_y(z)$, richtig? \quoteoff Hi Newmath2012, das Ergebnis muss noch durch i dividiert werden: $f'(z) = \frac{Re f_y(z) + i Im f_y(z)}{i}=v_y-i*u_y$


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