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Mathematik » Geometrie » Punkt mit minimalem Abstand zu mehreren Geraden
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Universität/Hochschule J Punkt mit minimalem Abstand zu mehreren Geraden
Trikes
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-24


Hallo zusammen,

ich habe 15 Geraden im R^3 gegeben und möchte den Punkt bestimmen, der zu den Geraden den kleinsten Abstand hat. Wie kann ich diesen Punkt berechnen?

Vielen Dank für eure Hilfe!



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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-24


Hallo Trikes und willkommen hier im Forum!

Hm, da solltest du ersteinmal überlegen bzw. dazusagen, wie du den Abstand eines Punktes zu 15 Gerade definierst. Da gäbe es ja mindestens zwei naheliegende Möglichkeiten.


Gruß, Diophant



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MontyPythagoras
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Dabei seit: 13.05.2014
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Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-05-24


... wenn man die Summe der Abstandsquadrate minimieren will, dann ist es ein einfaches lineares Gleichungssystem in 3D.

Ciao,

Thomas



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Trikes
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 24.05.2020
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-24


Es passt, wenn man die Summe der Abstandsquadrate minimiert. Kannst du mir bitte noch beim Aufstellen des Linearen Gleichungssystems helfen? Ich komme hier nicht weiter. Vielen Dank!



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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-05-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo Trikes,

es ist hier nicht unsere Intention, fertige Lösungen zu geben. Um dir zielführend helfen zu können, bräuchten wir mehr Informationen über das Problem. Also in welchem Rahmen stellt es sich und wie soll eine Lösung umgesetzt werden?

Den Abstand eines Punktes \(P\) und einer Geraden, von der man den Richtungsvektor \(\vec{r}\) und einen Punkt \(S\) kennt, kann man per Kreuzprodukt so ausdrücken:

\[d=\frac{1}{\left|\vec{r}\right|}\cdot\left|\vec{r}\times(\vec{s}-\vec{p})\right|\]
Was könnte man damit nun machen, um auf das erwähnte LGS zu kommen (das braucht jetzt den einen oder anderen Zwischenschritt)?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Trikes
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-24


Hallo Diophant,

vielen Dank für deine Antwort. Das Problem sieht wie folgt aus:
Ich habe 15 Geraden der Form
fed-Code einblenden
gegeben. Gesucht ist der Punkt fed-Code einblenden fed-Code einblenden minimal wird. Hierbei bezeicht \(F_k\) den Fußpunkt auf der Geraden k.

Wenn ich die Formel für den Abstand eines Punktes zu einer Geraden umformuliere, komme ich auf das folgende Ergebnis:
fed-Code einblenden
Das ist doch dann nicht mehr linear? Kannst du mir bitte noch weiterhelfen, wie ich das LGS aufstellen kann? Vielen Dank!



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-05-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

vielleicht wäre es für eine zielführende Hilfestellung gut, wenn du noch etwas zu deinem mathematischen Hintergrund sagen könntest. Bist du insbesondere mit mehrdimensionaler Differentialrechnung sowie der Methode der kleinsten Quadrate vertraut?

Der grobe Fahrplan:
- stelle die Summe der 15 Abstandsquadrate auf
- bilde den Gradienten hinsichtlich der Punktkoordinaten \(p_1\), \(p_2\) und \(p_3\)
- setze diesen Gradienten gleich Null und löse das so entstehende 3x3-LGS.

Nachtrag:
Das oben ist ja schon ein quadrierter Abstand. Dann muss es aber vor der Klammer natürlich \(\frac{1}{\left|\vec{r}\right|^2}\) heißen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Trikes
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-29


Hallo Diophant,

vielen Dank für deine Hilfestellung. Jetzt konnte ich das LGS aufstellen. Eine Frage hätte ich noch: Wozu hätte ich die Methode der kleinsten Quadrate gebraucht?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-05-29


Hallo Trikes,

wenn du das so gemacht hast wie anskizziert: dann war das in diesem Fall die Methode der kleinsten Quadrate. 🙂

Halten wir fest:

- du hast die Quadrate aller 15 Abstände summiert
- du hast diese Summe partiell nach den drei Koordinaten abgeleitet
- du hast die drei Ableitungen (also den Gradienten) gleich Null gesetzt.
- da es ein LGS ist, um das es geht, ist die Lösung eindeutig (bis auf Sonderfälle)
- das Minimum der Summe dieser 15 Abstandsquadrate ist somit bestimmt.

Nichts anderes tut diese Methode. Nur dass es im allgemeinen nicht ganz so einfach geht ("Wie genau dieses Minimierungsproblem gelöst wird, hängt von der Art der Modellfunktion ab.", wie es so schön auf Wikipedia heißt...). 😉


Gruß, Diophant



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Trikes
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-31


Hallo Diophant,

ja genau so habe ich es gemacht. Nochmals vielen Dank für deine Hilfe!

Viele Grüße, Trikes



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