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Universität/Hochschule Fakultätsgleichung
Phoensie
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Aus: Muri AG, Schweiz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-26


\(\textbf{Aufgabe 1.}\)
\[\sum_{k=0}^l {m\choose k}{n\choose l-k} = {{m+n}\choose l}.\] \(\textbf{Aufgabe 2.}\)
\[{{n\choose 2}\choose 2} = 3{n \choose 3} + 3{n \choose 4}\]

Lassen sich diese Aufgaben nur mit der Definition des Binomialkoeffizienten
\[
{n \choose k} := \frac{n!}{k!(n-k)!}
\] lösen? Oder was braucht man sonst noch?



Zu Aufgabe 1 habe ich Folgendes versucht, bin aber stecken geblieben:
\[\begin{align*}
        \sum_{k=0}^l {m\choose k}{n\choose l-k}
        &= \sum_{k=0}^l \frac{m!}{k!(m-k)!} \frac{n!}{(l-k)!(n-l+k)!} \\
        &= \sum_{k=0}^l \frac{m!}{k!\frac{m!}{\prod_{i=k+1}^m i}} \frac{n!}{\frac{l!}{\prod_{j=k+1}^l j}(n-l+k)!} \\
        &= \sum_{k=0}^l \frac{\prod_{i=k+1}^m i}{k!} \frac{n!}{\frac{l!}{\prod_{j=k+1}^l j}(n-l+k)!} \\
    \end{align*}
\]



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-26


Die obere Identität lässt sich leicht kombinatorisch begründen.
Wie man es direkt nachrechnet, weiß ich nicht.
Ich würde es daher mit Induktion versuchen.


Die zweite Identität lässt sich direkt nachrechnen.


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Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-05-26


Auch die zweite Identität kann man kombinatorisch beweisen: Man wählt zwei verschiedene zweielementige Teilmengen einer n-Menge aus und macht eine Fallunterscheidung danach ob diese disjunkt sind oder nicht.



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endy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-29


Hallo.

1) kann man per Induktion am einfachsten lösen,indem man die Bikos als fallende Faktorielle schreibt dividiert durch Fakultäten und dann umverteilt.

Man erkennt das die Gleichung nicht anderes ist als der Binomische Lehrsatz für fallende Faktorielle und diesen kann man einfach beweisen per Induktion.

Mit Erzeugenden Funktionen ist ein Hingucker,da dort offensichtlich ein Cauchyprodukt steht.

Etwas schwieriger ist es die Gleichung topologisch zu beweisen,aber dies geht auch.😉

Es geht natürlich auch direkt per Rechnung.Für so etwas benutzt man den Zeilbergeralgorithmus  oder Wilf-Zeilberger Paare.

Gruss endy




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Dean Koontz : Zwielicht

Unzählige verschlungene Nachtpfade zweigen vom Zwielicht ab.
Etwas bewegt sich inmitten der Nacht,das nicht gut und nicht richtig ist.

The Book of Counted Sorrows.




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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-05-30


Huhu,

1) ist natürlich "bekannt wie ein bunter Hund":



Gruß,

Küstenkind



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