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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Algebraische Gruppe über R ist Lie-Gruppe?
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Universität/Hochschule Algebraische Gruppe über R ist Lie-Gruppe?
Theodore_97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-27


Sei $G$ eine algebraische Gruppe über $\mathbb{R}$. Es wird gesagt, dass $G(\mathbb{R})$ dann eine reelle Lie-Gruppe ist. Aber die algebraische Gruppe ist ausgestattet mit der Zariski-Topologie aus der Schema-Struktur, und diese kann nicht lokal homöomorph zum euklidischen $\mathbb{R}^n$ sein, insbesondere also keine Mannigfaltigkeit, also auch keine Lie-Gruppe. Wo liegt mein Fehler?



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Theodore_97
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-28


Dies gilt also offensichtlich nur für affin algebraische Gruppen, da etwa die $\mathbb{R}$-Punkte der abelschen Varietät $\mathbb{P}^n_\mathbb{R}$ im Allgemeinen keine Lie-Gruppen-Struktur besitzen. Sei also $G$ affin algebraisch. Dann ist aber $G(\mathbb{R})$ eigentlich mit der Zariski-Topologie ausgestattet. Als Zariski-abgeschlossene Untergruppe von $\text{GL}_{n,\mathbb{R}}(\mathbb{R})$ ist sie jedoch insbesondere euklidisch-abgeschlossen und mithin eine Lie-Gruppe nach Cartan mit der von $\text{GL}_n$ induzierten euklidischen-Spurtopologie.

Man sieht aber auch direkt, dass es eine Lie-Gruppe mit der euklidischen Topologie ist, da die Gruppenoperation ein Morphismus auf affinen Varietäten ist, also polynomiell, insbesondere also glatt. Aber vorher müsste man zeigen, dass $G(\mathbb{R})$ überhaupt die Struktur einer MFK besitzt. Geht das irgendwie ohne Cartan, und ist der Rest überhaupt richtig?



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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-05-29


Hallo,

$G(\mathbb{R})$ ist mit der euklidischen Topologie versehen, nicht mit der Zariski-Topologie.

$\mathbb{P}^n$ ist keine abelsche Varietät für $n > 0$. Jede rationale Abbildung daraus in eine abelsche Varietät ist konstant.


[Verschoben aus Forum 'Gruppen' in Forum 'Algebraische Geometrie' von kurtg]



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Theodore_97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-07 14:36


Hallo Kurt.
Ist aber $\mathbb{P}_\mathbb{R}^3$ nicht diffeomorph zu $\text{SO}_{\mathbb{R},3}$ und besitzt damit eine (polynomielle) Gruppenstruktur? Aber dies gilt offensichtlich nur für die $\mathbb{R}$-Punkte dieser Varietäten, aber nicht für allgemeine $R$-Punkte darauf, da die Gleichheit oben als (glatte, reelle) Mannigfaltigkeiten gilt und daher nicht auf allgemeine $\mathbb{R}$-Algebren $R$ übertragbar ist. Überdies muss ein Diffeomorphismus dieser Mannigfaltigkeiten kein Isomorphismus von Varietäten sein, da es Diffeomorphismen gibt, die nicht algebraisch sind (Morphismen von Varietäten sind lokal polynomiell, was für allgemeine Diffeomorphismen nicht der Fall sein muss). Um eine abelsche Varietät zu sein, müsste $G(R)$ ja für jede $\mathbb{R}$-Algebra $R$ eine Gruppe sein. Wäre dies außerdem ein algebraischer Isomorphismus von Varietäten $\mathbb{P}_\mathbb{R}^3 \simeq \text{SO}_3$ über $\mathbb{R}$, so hieße dies, dass die linke projektive Varietät insbesondere affin wäre, was aber nicht sein kann (eine projektive Varietät ist niemals affin abgesehen von endlichen Punkten?). Insbesondere kann diese Isomorphie nie als algebraische Varietäten gelten, da dies eine Gruppenstruktur auf $\mathbb{P}_\mathbb{R}^3$ auf induzierte, was aus zwei Gründen nicht sein kann: 1. $\mathbb{P}_\mathbb{R}^3$ wäre dann eine abelsche Varietät, insbesondere kommutativ, also wäre auch $\text{SO}_3$ kommutativ, was nicht der Fall ist; 2. $\mathbb{P}_\mathbb{R}^3$ wäre eine projektive algebraische Gruppe, gleichzeitig aber auch eine affine algebraische Gruppe durch die Isomorphie zu $\text{SO}_3$, was nicht sein kann, da der Schnitt der Kategorie der abelschen Varietäten und affinen algebraischen Gruppen trivial ist. Stimmt so alles? Bei Fehlern bitte ich um Korrektur.

 



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