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Universität/Hochschule J Orthogonale Räume finden
garfield9
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-01


Hallo an alle,
ich bin neu hier und weiß noch nicht so ganz, wie hier alles organisiert ist. Mit dem Ansatz "Learning by doing" stelle ich einfach mal meine erste Frage.

Ich habe eine Aufgabe, die ich leider nicht ganz verstehe.

Und zwar bezieht sich meine Frage auf die Teilaufgaben a und b.
Ich verstehe soweit, dass das L²-Skalarprodukt aller Elemente aus Y_senkrecht mit Y null sein muss. Also muss das Integral vom Produkt der Elemente aus Y und Y_senkrecht jeweils paarweise null sein. (Integrationsgrenzen 0 und 1)
Weil der Durchschnitt zweier senkrechter Mengen nur das Nullelement enthält, muss das Integral aller Elemente aus Y_senkrecht (von 0 bis 1) verschieden von null sein. Nun komme ich einfach nicht weiter, wie ich da jetzt eine konkrete Menge herausfinden kann. Kann mir jemand vielleicht einen Hinweis geben?

Außerdem möchte ich fragen, ob mir jemand Literatur, Videos o.ä. zu diesem Thema empfehlen könnte? Ich finde irgendwie nur sehr wenig dazu.

Mit den besten Grüßen
M



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-01


Kannst ein schön einfaches Element <math>\neq 0</math> aus <math>Y^{\perp}</math> angeben? Eins springt ins Auge...
Man könnte b) und c) gemeinsam lösen, da diese Aufgaben eng zusammenhängen.

Die Aufgaben lassen sich unter dem Thema Maßtheorie/ Funktionalanalysis einordnen; daß Du dazu wenig findest, erscheint mir kaum glaubhaft.  



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ochen
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Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-01


Hallo,

zu a) Am besten du stellst $Y$ als das Urbild einer abgeschlossenen Menge unter einer stetigen Abbildung dar.

zu b) $Y$ enthält alle Funktionen der Form $\sin(2k\pi t)$ und $\cos(2k\pi t)$. Warum? Und was kann man damit anfangen?

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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garfield9
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-01


2020-06-01 18:20 - hippias in Beitrag No. 1 schreibt:
Kannst ein schön einfaches Element <math>\neq 0</math> aus <math>Y^{\perp}</math> angeben? Eins springt ins Auge...
Man könnte b) und c) gemeinsam lösen, da diese Aufgaben eng zusammenhängen.

Die Aufgaben lassen sich unter dem Thema Maßtheorie/ Funktionalanalysis einordnen; daß Du dazu wenig findest, erscheint mir kaum glaubhaft.  

Vielen Dank erstmal für die Antwort! Ein bzw. auch mehrere Beispiele sind mir schon aufgefallen, die in Y liegen: sin(2k(pi)t) und cos(2k(pi)t. Dazu die orthogonalen Elemente müssten doch 1-sin(2k(pi)t) und 1-cos(2k(pi)t sein, wegen der Zerlegung gemäß Projektionssatz, oder?
Ich habe schon mit ein paar solchen Ideen versucht das L²Skalarprodukt auszurechnen. Da kommt aber leider immer etwas ungleich null heraus;/

Führt meine Denkweise in die richtige Richtung?

Mit freundlichen Grüßen
M



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garfield9
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-01


2020-06-01 18:26 - ochen in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo,

zu a) Am besten du stellst $Y$ als das Urbild einer abgeschlossenen Menge unter einer stetigen Abbildung dar.

zu b) $Y$ enthält alle Funktionen der Form $\sin(2k\pi t)$ und $\cos(2k\pi t)$. Warum? Und was kann man damit anfangen?

Hallo,

Erst einmal vielen Dank für die Antwort! Teilaufgabe a habe ich schon verstanden, vielen Dank für den Hinweis. Zu Teilaufgabe b bin ich mir aber immernoch unsicher. Die Funktionen $\sin(2k\pi t)$ und $\cos(2k\pi t)$ sind ja deswegen in Y, weil die Fläche oberhalb der Abszisse, unterhalb des Funktionsgraphen genauso groß ist, wie die unterhalb der Abszisse und oberhalb der Funktion. Einer meiner Gedanken war eine Zerlegung gemäß Projektionssatz durchzuführen und dann das z aus z=x-y zu berechnen. Also quasi zuerst c machen. Dabei kommen aber Funktionen raus deren L²-Skalarprodukt mit Elementen aus Y nicht null wird. Oder habe ich mich verrechnet?

Habe ich soweit einen Denkfehler?

Mit freundlichen Grüßen
M



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JonyGo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-06-01


Es läßt sich leicht zeigen, dass alle konstanten Funktionen in $Y^\perp$ liegen, da jedes $x\in X$ als Summe einer konstanten Funktion und einem $y\in Y$ geschrieben werden kann, folgt daraus, dass damit $Y^\perp$ vollständig beschrieben ist. Die Teile b),c) folgen direkt.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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garfield9
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-01


2020-06-01 19:29 - JonyGo in Beitrag No. 5 schreibt:
Es läßt sich leicht zeigen, dass alle konstanten Funktionen in $Y^\perp$ liegen, da jedes $x\in X$ als Summe einer konstanten Funktion und einem $y\in Y$ geschrieben werden kann, folgt daraus, dass damit $Y^\perp$ vollständig beschrieben ist. Die Teile b),c) folgen direkt.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]

Hallo,

Vielen Dank für die Antwort!
Das man einfach zeigen kann, dass alle konstanten Funktionen in Y_senkrecht drin sind, ist mir klar geworden. Ich bin mir leider nur nooch unsicher, wie man jetzt allgemein eine Menge Y_senkrecht aufschreibt, damit wirklich alle Elemente srin sind? Sind es wirklich nur die konstanten Funktionen?

Mit freundlichen Grüßen
M



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JonyGo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-06-01


2020-06-01 19:46 - garfield9 in Beitrag No. 6 schreibt:
Sind es wirklich nur die konstanten Funktionen?
Wegen a) gilt $X=Y\oplus Y^\perp$. Da jedes $x\in X$ eine Zerlegung $x=y+\text{const};\ y\in Y$ hat, folgt aus der direkten Summe, dass es keine weiteren Elemente in $Y^\perp$ gibt.



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garfield9
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-01


2020-06-01 20:06 - JonyGo in Beitrag No. 7 schreibt:
2020-06-01 19:46 - garfield9 in Beitrag No. 6 schreibt:
Sind es wirklich nur die konstanten Funktionen?
Wegen a) gilt $X=Y\oplus Y^\perp$. Da jedes $x\in X$ eine Zerlegung $x=y+\text{const};\ y\in Y$ hat, folgt aus der direkten Summe, dass es keine weiteren Elemente in $Y^\perp$ gibt.

Hallo,

Vielen Dank für die Erklärung!
Kann man etwa davon ausgehen, dass bekannt ist, dass sich jede integrierbare Funktion im Intervall (0,1) darstellen lässt als Summe aus einer trigonometrischen Funktion und einer Konstanten?
Ansonsten habe ich b nun verstanden, danke.

Irgendwie habe ich jedoch Probleme bei c eine passende Konstante zu finden, damit gilt: t = sin(2k(pi)t) + const. Wie genau sollte ich vorgehen?

Mit freundlichen Grüßen
M



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JonyGo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-06-01


Der Hinweis auf sin/cos ist überflüssig. Für $x\in X$ definiere $y:=x-\int_0^1 x(t)dt\in Y$. $c:=\int_0^1 x(t)dt$ ist die konstante Funktion aus $Y^\perp$.



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garfield9
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-01


2020-06-01 20:15 - JonyGo in Beitrag No. 9 schreibt:
Der Hinweis auf sin/cos ist überflüssig. Für $x\in X$ definiere $y:=x-\int_0^1 x(t)dt\in Y$. $c:=\int_0^1 x(t)dt$ ist die konstante Funktion aus $Y^\perp$.

Achso! Ich hatte mich selbst in die Irre geführt.

Vielen Dank!!



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