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Analysis » Stetigkeit » mehrdimensionale Funktion stetig fortsetzbar?
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Universität/Hochschule J mehrdimensionale Funktion stetig fortsetzbar?
Shurian
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-02


Hallo Leute,

ich soll untersuchen ob die Funktionen $f_k: \mathbb{R}^3\setminus M \to \mathbb{R}$ im Ursprung stetig fortsetzbar sind. Dabei ist $M = \{(x,y,z)^t \in \mathbb{R}^3\; | \; x = y = 0, z \in \mathbb{R}\}$

$(i)\quad f_1(x,y,z) = \frac{xz^2 + y^3}{x^2+y^2}$
$(ii)\quad f_2(x,y,z) = \frac{xyz+xy^2}{x^2+y^2}$

Nun habe ich leider absolut keine Ahnung wie ich an diese Aufgabe rangehen soll. Kann mir jemand helfen?

Viele Grüße, Shurian



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thureduehrsen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-02


Hallo Shurian,

ich weiß leider überhaupt nicht, wo deine Probleme liegen, in welche Richtung Denkanstöße also gehen sollten. Ich tue mich auch schwer damit, zu glauben, dass du überhaupt keine Ideen hast.

mfg
thureduehrsen



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JonyGo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-02


zu i) Benutze das Folgenkriterium für Stetigkeit: Wähle $a_n:=(\frac{1}{n^3},0,\frac{1}{n})$. Dann gilt $f_1(a_n)=n$. Wegen $\lim_{n\to\infty} a_n = (0,0,0)$ kann $f_1$ in $(0,0,0)$ nicht fortgesetzt werden.

Folgen vom Typ $(\frac{1}{n^u},\frac{1}{n^v},\frac{1}{n^w})$ führen häufig zum Ziel.

zu ii) Für $x,y\in\IR$ gilt $(|x|-|y|)^2\geq 0\Rightarrow 2|x||y|\leq |x|^2+|y|^2\Rightarrow 2|xy|\leq |x^2+y^2|$. Daher:
$$|f_2(x,y,z)| = \left| \frac{xy}{x^2+y^2} (z+y)\right|\leq \frac{1}{2}|z+y|$$ $g(x,y,z):=(z+y)/2$ ist stetig in $(0,0,0)$ mit $g(0,0,0)=0$ (wichtig!). Daher folgt aus $|f_2(x,y,z)|\leq |g(x,y,z)|$, dass $f_2$ im Ursprung stetig fortsetzbar ist.



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Shurian
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-02


Vielen Dank für die Hilfe Jony!



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