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Universität/Hochschule Wahrscheinlichkeit, den Anschlusszug zu erreichen
ar593
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-04


Ein Bahnreisender möchte von Bahnhof A zu Bahnhof C gelangen und muss dabei in Bahnhof B umsteigen. Gemäß Fahrplan fährt der Zug in Bahnhof B 5 Minuten nach der Ankunft des Zuges aus Bahnhof A ab. Dabei kann die vermutete Verspätung der Ankunft des Zuges aus Bahnhof A in Minuten als eine Zufallsvariable X_A mit der Dichte f_A(x) = 0,2exp(−0,2x)1_[0,∞)_(x) angesehen werden. Die Verspätung der Abfahrt des Zuges in Bahnhof B in Minuten wird durch eine Zufallsvariable X_B mit der Dichte f_B(x) = 0,5exp(−0,5x)1_[0,∞)_(x) beschrieben. X_A und X_B seien unabhängig. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Reisende seinen Anschlusszug in Bahnhof B erreicht.

Ich habe leider nicht mal einen Ansatz, wie ich diese Aufgabe löse kann.
Hoffentlich kann mir jemand helfen 😉



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,

du könntest damit anfangen dir zu überlegen, welche Beziehung zwischen $X_A$ und $X_B $ bestehen muss, damit der Anschlusszug erreicht werden kann.
\(\endgroup\)


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SabineMueller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-05


Was ist mit $P(X_A\leq 5, X_B\geq 5)$?🤔



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
@SabineMueller: Wenn der erste Zug 20 Minuten Verspätung hat, der zweite aber 40 Minuten später abfährt, dann würde der Reisende den Anschluss erreichen, aber $X_A\leq 5, X_B\geq 5$ wäre nicht erfüllt.
\(\endgroup\)


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SabineMueller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-06-05


ok ich halt mich wieder raus



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ar593
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-05


Der Zusammenhang wäre ja, dass wenn X_A maximal 5 Minuten Verspätung haben darf, wenn X_B 0 ist. Ist X_A größer als 5, also 5+x, dann muss X_B ja mindestens x sein.
Ich weiß aber leider nicht wie ich die Dichtefunktionen einsetzen muss, um eine Wahrscheinlichkeit zu berechnen.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-06-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!

2020-06-05 11:42 - ar593 in Beitrag No. 5 schreibt:
Der Zusammenhang wäre ja, dass wenn X_A maximal 5 Minuten Verspätung haben darf, wenn X_B 0 ist. Ist X_A größer als 5, also 5+x, dann muss X_B ja mindestens x sein.

Betrachte einmal die Fälle, in denen \(X_A\le 5\) gilt und die, in denen \(X_A>5\) ist, getrennt. Denn im ersten Fall wird der Anschlusszug ja in jedem Fall erreicht.

2020-06-05 11:42 - ar593 in Beitrag No. 5 schreibt:
Ich weiß aber leider nicht wie ich die Dichtefunktionen einsetzen muss, um eine Wahrscheinlichkeit zu berechnen.

Überhaupt nicht. Du musst hier mit der Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung rechnen.

Wenn man wie vorgeschlagen die beiden Fälle getrennt behandelt, kann man ihre Wahrscheinlichkeiten am Ende addieren. Der erste Fall ist ja leicht abgehandelt. Für den zweiten Fall musst du

- die Beziehung zwischen den beiden Verspätungszeiten
- die Tatsache, dass die beiden Verspätungen stochastisch unabhängig sind

ausnutzen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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ar593
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-11 15:01


Vielen Dank für die Hilfe Diophant!

Ich habe mir überlegt für den ersten Fall die gegebene Funktion der Verteilungsdichte über das Intervall [0,5] zu integrieren. So sollte ich auf die Wahrscheinlichkeit für den ersten Fall kommen.

Für den zweiten Fall habe ich mir überlegt, dass X_B immer um mindetsens eine Minute größer sein muss als X_A damit der Anschluss erreicht wird. Ich weiß allerdings nicht, wie ich das in meine Rechnung mit einbeziehe, also wie ich f_A und f_B verknüpfen muss :(



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ar593
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-11 15:19


Ich würde für den zweiten Fall dann f_A von 6 bis unendlich integrieren und f_B von 7 bis unendlich integrieren. Muss ich diese Integrale dann addieren oder voneinander subtrahieren?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-06-11 15:26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2020-06-11 15:01 - ar593 in Beitrag No. 7 schreibt:
Ich habe mir überlegt für den ersten Fall die gegebene Funktion der Verteilungsdichte über das Intervall [0,5] zu integrieren. So sollte ich auf die Wahrscheinlichkeit für den ersten Fall kommen.

Ja, das ist die richtige Vorgehensweise.

2020-06-11 15:01 - ar593 in Beitrag No. 7 schreibt:
Für den zweiten Fall habe ich mir überlegt, dass X_B immer um mindetsens eine Minute größer sein muss als X_A damit der Anschluss erreicht wird.

Nein, solche "praxisrelevanten" Überlegungen gehören hier nicht her (sonst wäre es in der Aufgabenstellung irgendwie gefordert).

2020-06-11 15:01 - ar593 in Beitrag No. 7 schreibt:
Ich weiß allerdings nicht, wie ich das in meine Rechnung mit einbeziehe, also wie ich f_A und f_B verknüpfen muss :(

Also, es muss sicherlich \(X_B\ge X_A-5\) gelten, damit man den Anschlusszug erwischt. Das musst du zusammen mit der stochastischen Unabhängigkeit hier ausnutzen (Stichwort: gemeinsame Verteilung).


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
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