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Universität/Hochschule J Taylorreihe
Humboldtianer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-05


Hallo,

in meinem Statistische Mechanik Skript kommt eine Taylorreihe vor, die mich etwas verwirrt. Es soll die Freie Energie $F(N-N_{1}, V-V_{1})$ um den Entwicklungspunkt $(N_1, V_1)=(0,0)$, bis zur ersten Ordnung getaylort werden. Weiterhin ist gegeben, dass:

$P=-\frac{\partial F(N,V)}{\partial V}$ und $\mu=\frac{\partial F(N,V)}{\partial N}$

Im Skript steht nun als Taylorreihe bis zur ersten Ordnung:

$F(N-N_{1}, V-V_{1})=F(N,V)-N_1\mu+V_1P$

Müsste aber als Vorfaktor vor $P$ nicht ein $V$ stehen und vor $\mu$ ein $N$? $N_1$ und $V_1$ sind doch 0?

Lg,
Felix



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-05

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Hallo Humboldtianer,

$N_1$ und $V_1$ sind nicht 0. Es wird nur $F(N-N_1,V-V_1)$ als Funktion von $(N_1,V_1)$ um $(0,0)$ entwickelt werden. Wenn ich zum Beispiel $\sin x$ um den Entwicklungspunkt $x=0$ entwickle, dann setze ich ja auch nicht einfach $x=0$ ein.

Allgemein lautet die Taylorentwicklung erster Ordnung einer Funktion von zwei Variablen so:

\[f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+\nabla_{(x,y)} f(x_0,y_0)\cdot (x-x_0,y-y_0)\]
In deinem konkreten Beispiel sind $x=N_1,y=V_1,x_0=0,y_0=0,f(N_1,V_1)=F(N-N_1,V-V_1)$. $N$ und $V$ werden wie Konstanten behandelt.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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Humboldtianer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-05


Hallo Vercassivelaunos,

danke für deine Antwort! Mein Problem war wohl, dass ich $N$ und $V$ nicht als Konstanten betrachtet habe.

Sind die Vorzeichen im Skript aber nicht trotzdem falsch?

\(F(N-N_1,V-V_1)\approx F(N-0,V-0)+(N_1-0)\underbrace{\frac{\partial F(N_1,V_1)}{N_1}\vert_{N_1=0}}_{=\mu}+(V_1-0)\underbrace{\frac{\partial F(N_1,V_1)}{V_1}\vert_{V_1=0}}_{=-P}=F(N,V)+N_1 \mu-V_1 P
\)



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-05

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Die Vorzeichen sind richtig. Du musst nämlich die Ableitung $\partial_{N_1}F(N-N_1,V-V_1)$ (analog für $V_1$) berechnen, nicht die Ableitung $\partial_{N_1}F(N_1,V_1)$. Mit der Kettenregel kommt daher noch das negative Vorzeichen von $\partial_{N_1}(N-N_1)=-1$ dazu.
\(\endgroup\)


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Humboldtianer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-05


Stimmt, daher kommt das. Vielen Dank!



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