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| Autor |
  Restklassenringe |
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sebbi
Junior 
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 5
 |  Themenstart: 2002-11-03
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Hallo!
Bin mit dieser Übungsaufgabe völlig überfordert, bekomme nicht mal ansatzweise was hin:
Sei M eine Menge.
A + B := (A\B)È(B\A) mit A,B ÎP(M) und entsprechend 0:=Ø. Bezeichne AÇB die übliche Schnittmenge.
(1) Zeige, daß (P(M),+,Ç) ein kommutativer Ring ist.
(2) Zeige: Der Ring (P(M),+,Ç) ist ein Körper genau dann, wenn #M = 1.
(3) Sei N Í M eine Teilmegne. Zeige P(N)ÍP(M) ist ein Ideal.
(4) Gib im Fall M = {a,b}, N = {a} die Verknüpgungstafeln des Restklassenrings (P(M)/P(N),+,Ç) an (eine für (+) und eine für (Ç)).
(5) Sei (R,+,*) ein beliebiger Ring. Zeige: Gilt a*a=a für alle aÎR, so ist (R,+,*) kommutativ.
Wäre nett wenn jemand helfen kann, wenn nicht kann mir jemand vielleicht einen Tip geben wie ich bei dem ganzen Lineare Algebra Shit wieder durchsteig. Bin erst anfang 1.Semester und es wächst mir schon über den Kopf. Kann mir unter den meisten Sachen einfach nix vorstellen,
Mfg Sebbi
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Fabi
Senior 
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4586
 | Beitrag No.1, eingetragen 2002-11-03
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Hi!
1) Da musst du eben alle Axiome durcharbeiten.
Eins führe ich dir vor:
P(M) muss ein Nullelement enthalten, wenn es ein Ring sein soll.
Sei also A+E = A
=> (A/E) Ç (E/A) = A
E = {0} erfüllt diese Bedinung.
2) Dafür muss P(M9 ein Einselement N enthalten mit N Ç A = A für alle A.
Daraus folgt N = M.
Andererseits muss es für jedes A ein Inverses A' geben mit A Ç A' = M.
Das ist nur dann der Fall, wenn A = A' = M für alle A. Dann müssen aber alle Elemente von P(M) gleich sein, also muss M = { } gelten.
Wenn M = { } gilt, ist P(M) offensichtlich ein Körper.
3)
-Es ist P(N) ¹ Ø, dazumindest { } in P(N) liegt
-Seien A,B Î P(N). Dann besteht A+B auch nur aus Elementen aus N und ist daher auch in P(N) enthalten
-Sei A Î P(N), B Î P(M). Dann enthält A Ç B nur Elemente die auch A enthält, d.h. nur Elemente aus N, daher ist auch A Ç B Î P(N)
Das sind die definierenden EIgenschaften eiens Ideals, also ist P(N) ein Ideal.
Spätermache ich evtl. noch die beiden anderen Aufgaben.
Gruß
Fabi
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