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Logik, Mengen & Beweistechnik » Mengenlehre » Kardinalzahlen
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Ausbildung Kardinalzahlen
Mandelbrat1729
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  Themenstart: 2020-06-09

Hallo zusammen Ich habe eine Frage zur Kardinalzahlarithmetik. Es gibt ja bekanntlich unendliche Mengen verschiedener Mächtigkeit. Meine Frage ist eigentlich: Wie komme ich von einer Kardinalzahl \(\aleph_\alpha\) - durch eine Operation - zu einer Kardinalzahl \(\aleph\)_(alpha+1)? Daher: Durch welche (einfachste / kleinste) Operation überschreite ich sozusagen die Grenze zwischen zwei Unendlichkeiten? Ich würde zum beispiel vermuten: \(\aleph_0 + \aleph_0 = \aleph_0\) Und wahrscheinlich: \(\aleph_0 * \aleph_0 = \aleph_0\) Aber ist zum Beispiel: \((\aleph_0) ^ \aleph\)_0 = \(\aleph_0\ oder schon \(\aleph_1\) oder muss man vielleicht \(\aleph_0\) \(\aleph_0\)-mal mit sich selbst potenzieren, dass man zu \(\aleph_1\) kommt? Irgendwie wurmt mich das ein wenig! Und: Geht das ganze evt. auch schon in die Thematik der Kontinuumshypothese hinein oder kann es noch einfacher gehalten werden? Danke für eure Hilfe. Gruss Mandelbrat1729


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-09

Hallo Mandelbrat1729, es ist \(2^{\aleph_0}=\aleph_0^{\aleph_0}>\aleph_0\). \(2^{\aleph_0}=\aleph_1\) ist die Kontinuumshypothese.


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Mandelbrat1729
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-09

Hallo StrgAltEntf Danke vielmals! Es wäre demnach möglich, dass zwischen "zwei hoch Aleph_null" und "Aleph_1" noch eine andere Unendlichkeit verborgen liegt? Ich hab mal gehört, die Kontinuumshypothese sei unentscheidbar... Gruss Mandelbrat 1729


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Ettore
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  Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-05

Hi, weiß nicht ob das hier für Dich noch interessant ist, aber finde das Thema spannend, daher nochmal kurz von meiner Seite...also kann jetzt auch keine Garantie geben, dass ich das richtig verstanden habe... Richtig, das ist glaube ich die Kontinuumshypothese, also dass es 'dazwischen' eben keine weitere Abstufung von Unendlichkeit mehr gibt..siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Kontinuumshypothese. Und wie dort auch steht, ist eben die Unabhängigkeit von bzw. die Unentscheidbarkeit innerhalb von ZFC (also der 'normalen' Standart-Mengenlehre, die zur Formalisierung ich glaube aller allgemein akzeptierten Mathematik ausreicht) bewiesen worden. Also: Wenn Du akzeptierst, was in diesen Beweisen gemacht wird, und außerdem Dich darauf festlegst, dass alles, was Mathematik ist, in ZFC formalisiert werden kann, dann hat, glaube ich, die Kontinuumshypothese keinen Wahrheitswert mehr, also zumindest kann man das dann so interpretieren, glaube ich. Vielleicht kann man es auch so formulieren, dass die CH dann keinen (mathematischen) Sinn mehr hat, insofern Sie ja weder richtig noch falsch ist. Aber ich habe hier bestimmt irgendwas falsch verstanden oder bringe es durcheinander.. Ich weiß nicht, ob man die CH dann einfach als zusätzliches Axiom einführen kann bzw. welchen Sinn das hat/haben kann, oder wahlweise auch die Negation der CH... Was mich gerade verwirrt dabei bzw. was ich mich frage: Wenn doch Gödels Unvollständigkeitstheorme zeigen, dass es (etwas lax gesagt) in jedem ausreichend starken formalen System Sätze gibt, die wahr sind, aber innerhalb des Systems nicht bewiesen werden können, kann man das dann so verstehen, dass offenbar kein formales System die gesamte Mathematik beschreiben kann, weil doch eben jene Unvollständigkeit auf ZFC auch wiederum zutrifft? Dann, so scheint es mir, ist die CH nicht unbedingt ohne Wahrheitswert bzw. sinnlos, nur bräuchte man dann zur Klärung dieser Frage eine Mathematik, die über ZFC 'hinaus geht', was immer das heißen soll/würde... Sorry falls ich jetzt mehr Durcheinander als Klärung gebracht habe, aber ich hoffe, Du konntest Deine Frage lösen.. Gruß


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