Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » Orthonormalbasis
Autor
Universität/Hochschule Orthonormalbasis
EuskiPeuski712
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 06.01.2020
Mitteilungen: 80
  Themenstart: 2020-06-10

Hi Leute, ich scheitere zumindest grad am Verständnis der folgenden Aufgabe: Sei \IC^3 mit dem komplexen Standard-Skalarprodukt versehen und sei U=span{a_1 ,a_2\.} mit a_1 =(-1,i,1) und a_2=(i,0,2). Es soll eine Orthonormalbasis B={b_1 ,b_2 ,b_3\.} von \IC^3 mit U=span{b_1 ,b_2\.} bestimmt werden. Nun wollte ich froh und munter nach dem Schmidt-Verfahren eine Basis finden, jedoch bin ich etwas irritiert. Die zwei vorgegebenen Vektoren sind nicht orthogonal, sodass ja U auch keine Orthonormalbasis sein kann. Damit kann ich diese Vektoren ja erstmal nicht verwenden oder ? Müssen die Vektoren erst normiert werden oder wo steckt der tiefere Sinn dahinter ? Würde mich über Nachdenkhilfen freuen, eine Lösung der kompletten Aufgabe brauche ich nicht :)


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2583
  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-10

\quoteon(2020-06-10 19:23 - EuskiPeuski712 im Themenstart) Die zwei vorgegebenen Vektoren sind nicht orthogonal, sodass ja U auch keine Orthonormalbasis sein kann. \quoteoff Der Sinn des Schmidt-Verfahrens besteht doch gerade darin, aus diesen beiden Vektoren ein Orthonormalsystem zu machen. Übrigens ist $U$ überhaupt keine Basis, sondern ein Unterraum. Und dieser Unterraum hat einmal die nicht othonormale Basis $(a_1,a_2)$, die gegegben ist, und die othonormale Basis $(b_1,b_2)$, die du ausrechnen sollst.


   Profil
EuskiPeuski712
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 06.01.2020
Mitteilungen: 80
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-10

Ah okay, also wenn ich das richtig verstanden habe, müsste ich also die Vektoren des Unterraums so normieren, dass U eine Orthonormalbasis darstellt, sodass ich damit eine Orthonormalbasis des "gesamten" Vektorraums finden kann oder wie ?


   Profil
Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1238
  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\) Hallo EuskiPeuski712, wenn du beim Gram-Schmidt-Verfahren mit einer Basis $A=\{a_1,\dots,a_n\}$ beginnst, und daraus eine Orthonormalbasis $B=\{b_1,\dots,b_n\}$ machst, dann spannen die ersten $k$ Basisvektoren aus $A$ und die ersten $k$ Basisvektoren aus $B$ denselben Raum auf ($1\leq k\leq n$), also $\operatorname{span}(a_1,\dots,a_k)=\operatorname{span}(b_1,\dots,b_k)$. Das liegt daran, dass nach $k$ Schritten des Gram-Schmidt-Verfahrens im Endeffekt das vollständige Gram-Schmidt-Verfahren auf den Unterraum $\operatorname{span}(a_1,\dots,a_k)$ mit der Basis $\{a_1,\dots,a_k\}$ angewendet wurde. Mit diesem Wissen lässt sich wie folgt vorgehen: ergänze $\{a_1,a_2\}$ zu einer Basis von $\C^3$ und wende das Gram-Schmidt-Verfahren darauf an. Die ersten beiden Basisvektoren, die du erhältst, werden weiterhin $U$ aufspannen, und alle erhaltenen Basisvektoren zusammen bilden eine ONB von $\C^3$. Viele Grüße Vercassivelaunos [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)


   Profil
EuskiPeuski712
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 06.01.2020
Mitteilungen: 80
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-10

Super, vielen lieben Dank für die ausführliche Erklärung. Damit lässt sich dann arbeiten :)


   Profil
EuskiPeuski712 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]