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Logik, Mengen & Beweistechnik » Mengenlehre » Mengenlehre - Paradoxon
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Universität/Hochschule Mengenlehre - Paradoxon
phycomscience
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  Themenstart: 2020-06-13

Hallo ihr Lieben, ich habe folgende Aufgabe: Eine Menge A heißt n-mat, falls es Mengen der Form B_1, ..., B_n (nicht notwendigerweise paarweise verschieden), mit A \el\ B_1 \el\ B_2 \el\ ... \el\ B_n \el\ A (1) Ist die Menge M_n := menge(A|A ist nicht n-mat) selbst wieder n-mat oder nicht? Begründen Sie! Achten Sie auf den Titel der Aufgabe! Hinweis: Ist eine 1-mat Menge M gegeben, so gibt es eine Menge A mit M \el\ A \el\ M. Damit ist aber die Menge A ebenso wieder 1-mat, da A \el\ M \el\ A. Meine Antwort: Die Menge M_n kann nicht n-mat sein, da es sich hier um einen Widerspruch handelt. Man könnte folgendes annehmen: Sei M_n n-mat. Dh. es muss n-mat Mengen geben, die die Bedingung (1) erfüllen. Sei n = n. D.h. B_1 ... B_n sind n-mat Mengen. Dann muss gelten: M_n \el\ B_1 \el\ B_2 \el\ ... B_n \el\ M_n Jedoch besteht M_n aus A, welche nicht n-mat ist. Daher müsste folgende Bedingung nicht gelten A \el\ B_1 \el\ B_2 \el\ ... B_n \el\ A Sondern es müsste so sein: A \notel\ B_1 \el\ B_2 ... \el\ B_n \notel\ A Dh. wie in der Aufgabenstellung schon steht, handelt es sich irgendwie um ein Paradoxon. Ist meine Begründung so korrekt??? Ich danke Euch allen für Eure Hilfen!


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tactac
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\) Es ergeben sich (jedenfalls am direktesten) zwei verschiedene Dinge, je nachdem, ob man annimmt, ob $M_n$ $n-mat$ ist. Falls $M_n$ nicht $n-mat$, ergibt sich $M_n$ $n-mat$. Und falls $M_n$ $n-mat$, so ex. eine Menge $B$ mit $B\in M_n$ und $B\notin M_n$. Den in der Aufgabe gegebenen Hinweis solltest du zunächst von 1 auf n verallgemeinern.\(\endgroup\)


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phycomscience
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-13

Genau. Es ähnelt der Beweisführung der Unentscheidbarkeit des Halteproblems. Dein Satz: "Und falls M_n n-mat, so ex. eine Menge B mit B \el\ M_n und B \notel\ M_n," verstehe ich nicht ganz. Warum heißt es "B \el\ M_n und B \notel\ M_n", also warum und? Hätte nicht gereicht zu sagen: "Und falls M_n n-mat, so ex. eine Menge B mit B \notel\ M_n," Somit hätte man doch beide Paradoxa gezeigt. Oder muss ich noch was tun, weil ich deinen Satz "Den in der Aufgabe gegebenen Hinweis solltest du zunächst von 1 auf n verallgemeinern," nicht verstehe. Ich danke Dir!


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tactac
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  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-14

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\) \quoteon(2020-06-13 22:50 - phycomscience in Beitrag No. 2) Genau. Es ähnelt der Beweisführung der Unentscheidbarkeit des Halteproblems. \quoteoff Es ist eine ähnliche Situation. Hier zeigt man, dass es eine bestimmte "Menge" nicht geben kann, dort, dass es ein Programm mit einer gewissen Spezifikation nicht geben kann. \quoteon Du sagst: "Den in der Aufgabe gegebenen Hinweis solltest du zunächst von 1 auf n verallgemeinern." Wie meinst du das? Habe ich das nicht für n mit betrachtet? \quoteoff Ich sehe das nicht. Aber die Aussage wäre jedenfalls: Wenn $M$ $n$-mat ist, dann gibt es $B_1$ bis $B_n$ mit $M \in B_1 \in \dots \in B_n \in M$, *und diese $B_i$ sind ebenfalls $n$-mat.*\(\endgroup\)


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phycomscience
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-14

Super. Ich danke Dir sehr. Ich habe es nun vollständig verstanden. Bis dann


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tactac
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  Beitrag No.5, eingetragen 2020-06-14

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\) Naja, bisher hast du ja, soweit ich sehe, nur gezeigt, dass $M_n$ nicht $n$-mat ist. Nicht-$n$-mat ist es aber auch nicht. (Und mit klassischer Logik ist es somit $n$-mat.) Das solltest du vielleicht noch zeigen (was aber kurz geht). \(\endgroup\)


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phycomscience hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
phycomscience hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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