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Gewöhnliche DGL » Systeme von DGL » Partikuläre Lösung bei einem DGL Problem?
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Universität/Hochschule Partikuläre Lösung bei einem DGL Problem?
Isabellbell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-18





Wovon ich schon die homogenen Lösungen ermittelt habe:

fed-Code einblenden

Stimmen diese überhaupt?

Nun zur Hauptfrage, ich habe den Ansatz:

fed-Code einblenden

gewählt, da die Störfunktion bei y' --> -4sin t ist. Kann es sein, dass dieser falsch ist? Ich kann nämlich nicht nach A, B, C und D auflösen...



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-18


Hallo Isabellbell,

ich bekomme das Gleichungssystem aufgelöst. Vereinfachend kannst du die -4 im Ansatz weglassen.

Wenn du den Fehler bei dir nicht findest, können wir gerne mal Zwischenergebnisse vergleichen.


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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo Isabellbell,

deine homogene Lösung ist richtig. Um eine partikuläre Lösung zu finden, bietet sich auch bei Systemen von linearen DGL das Verfahren der Variation der Konstanten an. Setze so an, dass $C_1$ und $C_2$ Funktionen von $t$ sind, also
\[\begin{align*}
x_p(t)&=C_1(t)e^t+C_2(t)e^{2t}\\
y_p(t)&=-2C_1(t)e^t-2C_2(t)e^{2t}
\end{align*}\] Suche dann die differenzierbaren Funktionen $C_1,C_2$, sodass $x_p$ und $y_p$ das Gleichungssystem lösen.

Viele Grüße
Vercassivelaunos

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-18


Hallo,

noch eine Bemerkung als Ergänzung zu den bisherigen Antworten: die Begründung für deine - korrekte - Wahl der partikulären Lösung ist nicht so ganz astrein. Da sollte IMO noch erwähnt werden, dass die Koeffizientenmatrix des homogenen Systems zwei unterschiedliche reelle Eigenwerte besitzt.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Differentialgleichungen' in Forum 'Systeme von DGL' von Diophant]



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Isabellbell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-18


Hmm, was heißt Fehler? Ich hänge ja schon beim Ansatz :D

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-06-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

könntest du mal deine komplette Rechnung posten, dann wird es einfacher zu helfen.

Neben \(\LaTeX\) haben wir hier noch eine "hauseigene" Lösung für mathematischen Formelsatz, den Formeleditor fedgeo. Da kann man relativ viel per Mausklick erledigen und es gibt auch eine Vorschaufunktion.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-06-18


Also in kleineren Schritten:

x,y sowie x' und y' hinschreiben - das sind jeweils Linearkombinationen aus cos(t) und sin(t).

Diese in die DGL einsetzen - ergibt zwei Gleichungen

Dort jeweils Koeffizientenvergleich: nach sin(t) und cos(t) sortieren, diese ausklammern, und den jeweilig davorstehenden Term auf Null setzen. Ergibt vier Gleichungen in A,B,C und D.

Diese auflösen.

Das Ergebnis wieder in den Ansatz einsetzen: liefert die gewünschte Lösung des inhomogenen Systems.

Wo bleibst du denn hängen?

Grüße
Gonz

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


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Isabellbell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-18


Okay, so sieht es bei mir aus:

mein x(t) = -4A cos(t) - 4C sin(t) ---> x'(t) = 4A sin(t) - 4C cos(t)

mein y(t) = -4B cos(t) - 4D sin(t) ---> y'(t)= 4B sin(t) - 4D cos(t)

Jetzt einsetzen in das System mit x' = 3x + y , y' = -2x - 4 sin(t)

Nach Einsetzen erhalte ich ...

I) 4A sin(t) - 4C cos(t) = -12A cos(t) - 12C sin(t) - 4B cos(t) - 4D sin(t)

II) 4B sin(t) - 4D cos(t) = 8A cos(t) + 8C sin(t) - 4 sin(t)

Jetzt kann ich nicht weiter lösen, vermutlich hat sich irgendwo mindestens 1 Fehler eingeschlichen



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-06-18


das sieht bei mir genauso aus.

Also - weiter kommst du, indem du nach sin und cos sortierst und diese jeweils ausklammerst. Das führt zum Koeffizientenvergleich - die Gleichung wird erfüllt, wenn die jeweils ausgeklammerten Terme 0 sind.

zB auch hier bei Wikipedia

versuch mal :)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-06-18


Hallo,

das sieht doch auf den ersten Blick gut aus. Damit kannst du jetzt durch Koeffizientenvergleich (für die Sinus- und die Kosinusterme getrennt) ein 4x4-LGS für die Konstanten A, B, C und D aufstellen.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-19


Stimmen meine Lösungen?

A=3/10 , B=-4/5 , C=1/10 , D=-3/5



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-06-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

könntest du auch hier deine Rechnung mit dazu posten?

Ich habe zur Kontrolle gerade das gemacht, was gonz schon in Beitrag #1 geraten hatte: die -4 muss man nicht durch den Ansatz schleifen, sondern man kann so ansetzen:

\[\vec{\xi}_p=\bpm A\cos t+B\sin t\\C\cos t+D\sin t\epm\]
Damit komme ich jedoch für die Koeffizienten A, B C und D auf ganzzahlige Werte, von daher halte ich deine Lösungen für falsch (bis auf Rechenfehler meinerseits ;-) ).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-06-19


Vergleichen wir doch mal ein wenig :)

Aus der II.Gleichung (nach #7) ergibt sich aus dem cos-Anteil:

D = -2A

Es lohnt eigentlich gar nicht, das LGS in Matrixform hinzuschreiben, da man es einfach durch "Rückwärtseinsetzen" lösen kann. Ich habe im ersten, etwas übermüdeten Anlauf von gestern abend übrigens eine wieder andere Lösung (nicht ganzzahling, aber andere Werte als Isabellbell). Da müssen wir also noch durch :)

Frohes Schaffen und einen angenehmen Weg durch den Freitag wünscht
gonz


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-19


Meine Gleichungen waren: 0=-4A-12C-4D , 0=-12A-4B+4C , 0=8A+4D , 4=-4B+8C



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2020-06-19


Hallo,

da muss ich mich entschuldigen: deine Gleichungen sind korrekt und ebenso die Lösungen. Ich hatte mich vorhin verrechnet. Blöder Zufall, dass ich dann auch noch lauter ganzzahlige Lösungen erhalten habe...


Gruß, Diophant



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Ich bedanke mich :D

Hab jetzt auch mal die Ergebnisse mit WolframAlpha abgeglichen, kann mir jemand sagen weshalb die Ergebnisse dort minimal anders aussehen?

Ich meine konkret sowas wie C1e^t(2e^t-1)...




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Hallo nochmals,

ich habe gerade nochmal gründlich nachgerechnet und komme für die partikuläre Lösung jetzt auch auf die Werte von WolframAlpha. Also sind deine Lösungen richtig. Du musst ja bedenken, dass du diese alle noch mit dem Faktor -4 versehen musst.

Ich kann dir jedenfalls nur raten, den Tipp von gonz aus Beitrag #1 zu beherzigen. Der unnötige Vorfaktor -4 in deinem partikulären Lösungsansatz ist einfach nur eine zusätzliche Fehlerquelle -  bringen tut er nichts.

Die seltsamen Faktorisierungen im homogenen Teil sind der CAS-Technik geschuldet (wo man auf der WA-Seite, besonders ohne Abo, ja auch nicht die volle Leistung bekommt).


Gruß, Diophant



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