| Autor |
  Periode von sin(2x) |
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minusphalbe
Aktiv 
Dabei seit: 24.02.2020
Mitteilungen: 125
 |  Themenstart: 2020-06-20
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Hallo!
Eine Frage hätte ich zu der Aufgabe:
\(\sin (2x) \cdot \tan (x) = 1\)
Die Ergebnisse haben hier die Periode \(k\pi\) statt \(2k\pi\) weil es um \(\sin (2x)\) statt \(\sin (x)\) geht und \(\sin (2x)\) eine doppelt so hohe Frequenz hat (doppelt so viele Nullstellen) wie \(\sin (x)\).
Stimmt diese Begründung?
Viele Grüße,
minusphalbe
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Wauzi
Senior 
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11655
Wohnort: Bayern
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-20
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Hallo,
dann müßtest Du begründen, warum der tan keinen Einfluß hat.
Warum löst Du nicht einfach nach sin(x) auf?
Gruß Wauzi
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10927
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-20
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,
für periodische Funktionen \(f(x)\) mit Periodenlänge \(P_0\) folgt für die Periode der Funktion \(f(kx)\) stets
\[P=\frac{P_0}{k}\]
In diesem Fall halbiert sich die Periodenlänge der Sinusfunktion auf den Wert \(\pi\).
Warum die Multiplikation mit dem Tangens daran nichts ändert, muss man sich streng genommen aber noch gesondert klarmachen.
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)
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minusphalbe
Aktiv 
Dabei seit: 24.02.2020
Mitteilungen: 125
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-20
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Hallo Wauzi! Hallo Diophant!
Der Tangens kürzt sich teilweise in Form des Cosinus weg. (?)
Ich hatte so gerechnet:
\(\sin { \left( 2x \right) } \cdot \tan { \left( x \right) } =2\sin { \left( x \right) } \cos { \left( x \right) } \cdot \frac { \sin { \left( x \right) } }{ \cos { \left( x \right) } } =2\sin ^{ 2 }{ \left( x \right) } =1\)
und hatte mich gefragt, woran es liegt, daß das Ergebnis zwar über \(\arcsin \left( x \right)\) aber die Periode eben dann \(\pi\) ist. Und dann fiel mir als mögliche Begründung eben \(\sin \left( 2x \right)\) ein, weil der \(\tan \left( x \right)\) am Ende der Berechnung nicht mehr auftauchte (?).
Viele Grüße,
mnusphalbe
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10927
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.4, eingetragen 2020-06-20
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,
mache dir klar, dass die Funktion \(\sin^2 x\) ebenfalls die Periodenlänge \(\pi\) besitzen muss (was bewirkt das Quadrat?...).
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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minusphalbe
Aktiv
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-20
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Hallo Diophant!
Wenn \(\sin { \left( x \right) }\) bei \(\frac { \pi }{ 2 }\) ein Maximum hat, ist das bei \(\sin ^{ 2 }{ \left( x \right) }\) schon bei \({ \left( \frac { \pi }{ 2 } \right) }^{ 2 }=\frac { \pi ^{ 2 } }{ 4 }\) (*) erreicht, also doppelt so schnell. Außerdem können alle Sinus-Werte nur im Positiven incl. Null liegen.
Wäre das eine ausreichende Begründung?
(*) ob \(\pi ^{ 2 } \) überhaupt einen Sinn ergibt, weiß ich allerdings nicht.
Viele Grüße,
minusphalbe
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10927
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.6, eingetragen 2020-06-20
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo minusphalbe,
Achtung: es ist hier \(\sin^2x:=(\sin x)^2\). Nicht das Argument wird quadriert, sondern die Funktionswerte!
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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minusphalbe
Aktiv
Dabei seit: 24.02.2020
Mitteilungen: 125
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-20
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Hallo Diophant!
Huch, das war mir schon klar, ich hab’s durcheinandergebracht. Für einen Moment sah es so aus, als könnte das eine schöne Antwort auf deine Frage sein:
\quoteon(2020-06-20 22:00 - Diophant in Beitrag No. 4)
(was bewirkt das Quadrat?...)
\quoteoff
Viele Grüße,
minusphalbe
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minusphalbe
Aktiv
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Mitteilungen: 125
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-20
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Hier noch der Graph dazu, daran hätte ich den Fehler eben sofort bemerken können.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52655_sinusquadrat.png
Der negative Teil des Sinus ist beim Sinus zum Quadrat eben im Positiven.
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Wario
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Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 1325
| Beitrag No.9, eingetragen 2020-06-20
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\quoteon(2020-06-20 21:16 - minusphalbe im Themenstart)
\(\sin (2x) \cdot \tan (x) = 1\)
Die Ergebnisse haben hier die Periode \(k\pi\) statt \(2k\pi\) weil es um \(\sin (2x)\) statt \(\sin (x)\) geht und \(\sin (2x)\) eine doppelt so hohe Frequenz hat (doppelt so viele Nullstellen) wie \(\sin (x)\).
Stimmt diese Begründung?
\quoteoff
Ich würde versuchen, solche Aufgaben nicht im Sinne einer Einzelfallüberlegung zu lösen, die dann im nächsten Fall schon wieder anders ist.
Ich würde allem voran die Lösung trigonometrischer Grundgleichungen (z.B. $\sin(x) = a$) verstehen und dann versuchen trigonometrische Gleichungen auf trigonometrischer Grundgleichungen zurückzuführen.
$\sin(2x)\cdot \tan(x) = 1
~\Leftrightarrow~
2\sin(x)\cos(x) \cdot \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} = 1 \\
~\Leftrightarrow~
\sin^2(x) = \frac12$
$\Rightarrow~
\sin(x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}
~\Leftrightarrow~
x = (-1)^k\cdot \arcsin\left(\pm \frac{\sqrt{2}}{2} \right) +k\pi$ (vgl. Link)
$~\Leftrightarrow~
x = \pm (-1)^k\cdot \dfrac{\pi}{4} +k\pi%\\
~\Leftrightarrow~~~~
\underline{\underline{
x = \pm \dfrac{\pi}{4} +k\pi\\
}} ~~~~ (k \in \mathbb{Z})$
PS:
Eine andere Aufgabe könnte dennoch sein: Was ist die Periode von $f(x)=\sin(2x)\cdot \tan(x)$?
Da $\sin(2x)\cdot \tan(x)
= 2\sin(x)\cos(x) \cdot \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}
=\sin^2(x)$ wird mit Hilfe eines Additionstheorems $
\cos(2x) = \cos^2(x) −\sin^2(x) = 1 −2\sin^2(x)$
bzw. $
\sin^2(x) = \frac12 \bigl(1−\cos(2x)\bigr) =f(x)$ hat also die Periode $\dfrac{2\pi}{2} =\pi.$
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minusphalbe
Aktiv
Dabei seit: 24.02.2020
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-21
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Hallo Wario!
Danke für deine Hilfe und den Link - ich werde nochmal mehr darüber lesen.
Vielen Dank nochmal Diophant für deine Hilfe und dein Durchhalten.
Und Danke auch an Wauzi.
Viele Grüße,
minusphalbe
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