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Analysis » Stetigkeit » Lipschitz-Stetigkeit, mehrdimensional
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Universität/Hochschule Lipschitz-Stetigkeit, mehrdimensional
Majazakava
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-29


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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-29


2020-06-29 15:24 - Majazakava im Themenstart schreibt:
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Eigentlich ganz genauso: Du schreibst die Differenz $f(x)-f(y)$ als Integral (im Mehrdimensionalen als Kurvenintegral) und benutzt die Abschätzung des Differentials, um den Integranden abzuschätzen.

2020-06-29 15:24 - Majazakava im Themenstart schreibt:
Soll ich dann eine Norm aussuchen oder soll ich es für beliebige (alle) Normen beweisen?

Es bring nichts, sich spezielle Normen auszusuchen, also zeige es für beliebige.

--zippy



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Majazakava
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-04


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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-04


2020-07-04 17:33 - Majazakava in Beitrag No. 2 schreibt:
Oder meinst Du was ganz anderes?

Ja, du solltest nicht die Differenz zweier Kurvenintegrale ausrechnen, sondern die Differenz $f(x)-f(y)$ als Kurvenintegral schreiben.

Dazu nehmen wir die Kurve $\gamma\colon[0,1]\to\mathbb R^m$, $t\mapsto t\,x+(1-t)\,y$ und wenden auf die Funktion $\phi\colon[0,1]\to\mathbb R^n$, $t\mapsto f\bigl(\gamma(t)\bigr)$ den Fundamentalsatz der Analysis an:$$ \begin{align*}
f(x)-f(y) &= \phi(1)-\phi(0) = \int_0^1\phi'(t)\,dt =\\[1.5ex]
&= \int_0^1 J_{\gamma(t)}(f)\,\gamma'(t)\,dt =
\left[\int_0^1 J_{\gamma(t)}(f)\,dt\right]\!(x-y)
\end{align*}$$Im letzten Schritt wird ausgenutzt, dass $\gamma'(t)=x-y$ nicht von $t$ abhängt.

Den Ausdruck ganz rechts unter Verwendung von $\left\|J_{\gamma(t)}(f)\right\|<C$ abzuschätzen, sollte jetzt kein Problem darstellen.

Noch ein Nachtrag zu der zu verwendenden Norm: Du hast ja mit der Abschätzung von $J(f)$ schon eine Matrix-Norm vorgegeben. Du soltest daher eine dazu verträgliche Vektor-Norm verwenden (also eine, mit der sich ein Matrix-Vektor-Produkt als $\|Jz\|\le\|J\|\,\|z\|$ abschätzen lässt).



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