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Universität/Hochschule J Umformulierung eines Limes
Jannik_S
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-01


Hallo liebe Matheplanet-Community,

ich frage mich derzeit, wie man folgende Gleichheit beweist:

\( \lim \limits_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \lim \limits_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)

Den Funktionenlimes haben wir wie folgt definiert:

Seien \( D \subseteq \mathbb{R} \), \( f:D \rightarrow R \) und \( a, b \in \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \). Es gebe eine Folge \( x_n \in D \) mit \( \lim \limits_{n \to \infty} x_n = a \). Dann schreiben wir \( \lim \limits_{x \to a} f(x) = b \) genau dann, wenn für alle Folgen \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \in D \) gilt: \( \lim \limits_{n \to \infty} a_n = a \Rightarrow \lim \limits_{n \to \infty} f(a_n)=b \) .

Ich würde mich sehr über Eure Hilfe freuen.

Liebe Grüße
Jannik



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thureduehrsen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-01


Hallo Jannik,

setze links \(x-a=:h\) und forme um.

mfg
thureduehrsen



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-07-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

da bentötigst du doch einfach nur eine Substitution:

\[x=a+h\]
Daraus ergibt sich die Gleichheit sofort.

Was auch kein Wunder ist. Diese aus der Schule bekannten Begriffe "h-Methode" bzw. "x-Methode" sind insofern verwirrend, als es sich einfach um zwei Schreibweisen für ein und dasselbe handelt: den Differentialquotient als Grenzwert des Differenzenquotienten.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Differentialrechnung in IR' von Diophant]
\(\endgroup\)


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Jannik_S
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-01


Hallo,

danke Euch beiden für Eure Antworten.

Mit \( x=a+h \) ergibt sich:

\( \lim \limits_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \lim \limits_{x \to a} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \)

Aber wie kann ich jetzt beweisen, dass ich den Limes durch \(  \lim \limits_{h \to 0} \) ersetzen kann?

Liebe Grüße
Jannik



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-07-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2020-07-01 10:26 - Jannik_S in Beitrag No. 3 schreibt:
Aber wie kann ich jetzt beweisen, dass ich den Limes durch \(  \lim \limits_{h \to 0} \) ersetzen kann?

Auch ganz einfach: wenn \(x\to a\) dann ist das gleichbedeutend mit \(h\to 0\). Denn es ist \(h=x-a\).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Jannik_S
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-01


Hallo Diophant,

intuitiv verstehe ich Deine Argumentation. Ich frage mich nur, wie ich das ganze formal mithilfe der Definition des Limes beweise.

Liebe Grüße
Jannik



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-07-01


Hallo,

2020-07-01 10:39 - Jannik_S in Beitrag No. 5 schreibt:
intuitiv verstehe ich Deine Argumentation. Ich frage mich nur, wie ich das ganze formal mithilfe der Definition des Limes beweise.

Und ich verstehe die Notwendigkeit bzw. das Motiv für diesen Beweis nicht. Ich sage es nochmal: in beiden Fällen steht da ein und derselbe Grenzwert, es handelt sich hier ausschließlich um unterschiedliche Schreibweisen.


Gruß, Diophant



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-07-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Nachtrag:

Hilft dir dieser Gedanke vielleicht auf die Sprünge:

Es sei \(h:=x-a\). Dann sind gleichbedeutend:

\[x\to a\quad\Leftrightarrow\quad a+h\to a\quad\Leftrightarrow\quad h\to 0\]

Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-07-01


2020-07-01 10:56 - Diophant in Beitrag No. 6 schreibt:
Ich sage es nochmal: in beiden Fällen steht da ein und derselbe Grenzwert, es handelt sich hier ausschließlich um unterschiedliche Schreibweisen.

Auch wenn es für dich anschaulich völlig klar zu sein scheint: Da stehen erstmal zwei völlig unterschiedliche Grenzwerte, und die Tatsache, dass beide tatsächlich äquivalent sind, erfordert einen Beweis.



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-07-01


Huhu,

bekanntes Beispiel: Sei \(f(x)=\begin{cases}
1 & x \geq 0 \\
0 & \, x<0
\end{cases}\)

\(\lim\limits_{x\to 0} f(x^2)\) wird durch Substitution \(x^2=:t\) nun zu \(\lim\limits_{t \to 0} f(t)\). Während der erste Grenzwert existiert, sieht es beim zweiten eher schlecht aus.

Siehe dazu hier.

Gruß,

Küstenkind



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-07-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
@Kuestenkind:
In deinem Beispiel steckt aber auch ein wohl bewusst eingebauter Fehler. Denn bei dieser Substitution ist es ja klar, dass man danach \(\displaystyle\lim_{t\searrow 0}f(t)\) betrachten muss. Dann existiert der Grenzwert.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-07-01


Ja, klar - einseitig existiert der Limes noch. Es wurde aber dennoch aus einem zweiseitigen Limes durch Substitution ein einseitiger Limes, was die Krux an der Substitution zeigt. Das Problem ist ja die Unstetigkeit an der Stelle \(x=0\). Andere Beispiele sind ja auch im verlinkten Thread von Prof. Blatter und Prof. Magidin nachzulesen.

@Jannik_S: Hattet ihr denn einen Satz zu Grenzwerten von Kompositionen von Funktionen? Siehe hier. Das ist ja auch genau der Satz, welchen Christian Blatter auf stack exchange anführt. Auf dein Beispiel übertragen ist ja:

\(f(y)=\frac{f(y)-f(a)}{y-a}\) mit \(\lim\limits_{y\to a} f(y)=l\) und \(g(h)=a+h\) mit \(\lim\limits_{h \to 0}=a\). Nach dem oben verlinkten Theorem gilt dann:

\(\lim\limits_{h \to 0} f \circ g(h)=\lim\limits_{h \to 0}  \frac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a}=\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=l\)

Gruß,

Küstenkind



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Jannik_S
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Hallo Kuestenkind,

danke für Deine Antwort. Dein Hinweis auf einen Satz zu Grenzwerten von Kompositionen von Funktionen und der verlinkte Satz haben mir sehr weitergeholfen.

Viele Grüße
Jannik



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