Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Funktionentheorie » klassische Funktionen » Zusammenhang Riemannsche Vermutung und Primzahlsatz
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Zusammenhang Riemannsche Vermutung und Primzahlsatz
Nuke_Gunray
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 28.07.2017
Mitteilungen: 28
Aus: Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-01


Hallo zusammen,

ich habe ein Problem: Zur Zeit Schreibe ich an meiner Bachelorarbeit, diese beschäftigt sich eigentlich primär nur mit dem Beweis des Primzahlsatzes via $\zeta$- und $\vartheta$-Funktion. Jetzt dachte ich mir, dass es ja ganz cool wäre, wenn ich noch als eine Art Ausblick die Verbindung zwischen dem Fehler zwischen $\left| \pi(x) - \text{Li}(x)\right| = O( \sqrt{x}\log(x))$ und der Riemannschen Vermutung herleiten würde.

Mein Problem ist: Die Herleitungen die ich so im Internet finde, sind entweder zu oberflächlich, oder aber zu umfangreich, um sie nur als "Schlusskapitel" anzufügen. Darum wollte ich hier fragen, ob jemand mir einen Artikel (/Buch/ Paper/ ...) empfehlen kann, in dem dieser Zusammenhang nachvollziehbar hergeleitet wird, ohne aus hundert weiteren Bereichen noch Vorwissen heranzuziehen.

Die Herleitung der expliziten Formel habe ich bereits geteXt, kennt jemand vielleicht einen Weg, wie ich aus dieser Formel direkt ableiten kann, dass die Realteile der Nullstellen von $\zeta$ gleich $\frac{1}{2}$ sein müssen?

Vielen Dank schonmal,
Martin



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ixx
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.04.2020
Mitteilungen: 173
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-01


Moin,

in der expliziten Formel für $\psi(x)$ bekommst du ja einen Fehlerterm von $\mathcal{O}(x^n)$, wenn $n$ das Supremum der Realteile der Nullstellen der $\zeta$-Funktion ist. Da die nichttrivialen Nullstellen wegen der Funktionalgleichung zwischen $\zeta(1-s)$ und $\zeta(s)$ symmetrisch bezüglich der kritischen Linie bei Realteil $\frac{1}{2}$ liegen, ist die Riemannsche Vermutung äquivalent zu $n=\frac{1}{2}$ und dem entsprechenden Fehlerterm für $\psi(x)$ bzw. $\pi(x)$.

Viel Spaß und Erfolg noch bei deiner Arbeit! :)

edit: Das funktioniert so nur bis auf Potenzen von $\log x$. Mathworld gibt als Quelle eines exakten Beweises (Davenport 1980, p. 114; Vardi 1991) an.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Nuke_Gunray
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 28.07.2017
Mitteilungen: 28
Aus: Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-03


Hallo @Ixx,

erstmal danke für deine Antwort! Was meinst du mit deinem letzten Satz?

2020-07-01 22:44 - Ixx in Beitrag No. 1 schreibt:
edit: Das funktioniert so nur bis auf Potenzen von $\log x$.

Liebe Grüße,
Martin



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Nuke_Gunray hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Nuke_Gunray wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]