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Mathematik » Stochastik und Statistik » Mehrdimensionale Normalverteilung bei positiv semidefiniter Kovarianzmatrix
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Universität/Hochschule J Mehrdimensionale Normalverteilung bei positiv semidefiniter Kovarianzmatrix
Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-01


Ich beschäftige mich gerade mit der mehrdimensionalen Normalverteilung.
Wenn $X \sim \mathcal{N}(\mu,Σ)$ wobei $X$ eine n-dimensionale Zufallsvariable ist und $Σ$ die positiv definite Kovarianzmatrix ist, dann hat ja $X$ eine Wahrscheinlichkeitsdichte. ´

Wenn aber $\sum$ nur positiv semidefinit ist, dann existiert ja $Σ^{-1}$ nicht immer und damit gibt es auch nicht zwingend so eine Wahrscheinlichkeitsdichte.

Jetzt steht in Wikipedia, dass so eine Funktion dann eben durch die charakteristische Funktion festgelegt wird und dann steht folgendes:

"Sei ${\displaystyle \operatorname {Rang} \mathbf {\Sigma } =q<p}$ , dann gibt es allerdings eine $q$-dimensionale Linearform ${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {A} \mathbf {X} }$, wobei ${\displaystyle \mathbf {A} }$ eine ${\displaystyle (q\times p)}$-Matrix ist, die einer ${\displaystyle q}$ -dimensionalen Normalverteilung mit existierender Dichte im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}$ genügt."

Irgendwie verstehe ich nicht, was das jetzt genau bedeuten soll. Habe ich die Dichte nur auf einem Teilraum oder wie ist das gemeint ?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-01


2020-07-01 19:26 - Pter87 im Themenstart schreibt:
Habe ich die Dichte nur auf einem Teilraum oder wie ist das gemeint ?

Du hast kein Dichte bezüglich des Lebesgue-Maßes, aber eine Dichte bezüglich eines Maßes mit einem $q$-dimensionalen Träger, das auf diesem Träger "wie ein Lebesgue-Maß aussieht".

Was das genau bedeutet, macht ein einfaches Beispiel klar: Nimm eine $\mathcal N(0,1)$-verteile Zufallsvariable $Z$ und bilde damit den Zufallsvektor $X=\begin{pmatrix}Z\\Z\end{pmatrix}$. Dieser Zufallsvektor ist $\mathcal N(\boldsymbol \mu, \boldsymbol \Sigma)$-verteilt mit $\boldsymbol\mu=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ und der singulären Kovarianzmatrix $\boldsymbol\Sigma=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$.

$X$ lebt auf der Hyperebene $H=\left\{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\in\mathbb R^2:x_1=x_2\right\}$ und besitzt eine Dichte bezüglich des Bildmaßes des Lebesgue-Maßes auf $\mathbb R^1$ unter der Abbildung $\mathbb R^1\to\mathbb R^2$, $z\mapsto\begin{pmatrix}z\\z\end{pmatrix}$, dessen Träger $H$ ist.

--zippy



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Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-02


Was ist ein Maß auf einem Träger ? Ich hab mir die Definition eines Trägers einer Funktion schon angesehen, aber ich sehe nicht wieso hier der Begriff des Trägers überhaupt von Bedeutung ist.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-02


2020-07-02 22:31 - Pter87 in Beitrag No. 2 schreibt:
aber ich sehe nicht wieso hier der Begriff des Trägers überhaupt von Bedeutung ist.

Wenn dir der Zufallsvektor $X$ gegeben ist, erlaubt dir dieser Begriff, die Menge $H$ zu charakterisieren, ohne dass du dazu die Konstruktion von $X$ aus $Z$ über die Abbildung $\mathbb R^1\to\mathbb R^2$, $z\mapsto\begin{pmatrix}z\\z\end{pmatrix}$ kennen musst.



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Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-05


Gilt also nach deinem ersten Beitrag folgendes:

$\mathcal{N}((0,0), \Sigma)(H) = 1$

?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-07-05


2020-07-05 18:48 - Pter87 in Beitrag No. 4 schreibt:
Gilt also nach deinem ersten Beitrag folgendes:

$\mathcal{N}((0,0), \Sigma)(H) = 1$

?

Wenn du mit $\mathcal{N}((0,0), \Sigma)$ das der Verteilung entsprechende Maß bezeichnest: ja.



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Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-05


Ist es Zufall, dass die lineare Hülle der Kovrianzmatrix gerade H ist ?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-07-05


2020-07-05 19:51 - Pter87 in Beitrag No. 6 schreibt:
Ist es Zufall, dass die lineare Hülle der Kovrianzmatrix gerade H ist ?

Allgemein ist $X=AZ$, wobei $Z$ eine Normalverteilung auf $\mathbb R^q$ mit einer regulären Kovarianzmatrix ${\boldsymbol\Sigma}_q$ und $A$ eine $p\times q$-Matrix mit maximalem Rang ist.

Der Träger von $X$ ist dann das Bild von $A$ und die Kovarianzmatrix von $X$ ist ${\boldsymbol\Sigma}=A\,{\boldsymbol\Sigma}_qA^T$. Also kann man den Träger auch als Bild von ${\boldsymbol\Sigma}$ charakterisieren.



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Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-05


Achso, ok so ist also.

Was lässt sich eigentlich grob über den Zufallsvektor aussagen, wenn man weiß, dass die Kovarianzmatrix singulär ist?



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zippy
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2020-07-05 22:41 - Pter87 in Beitrag No. 8 schreibt:
Was lässt sich eigentlich grob über den Zufallsvektor aussagen, wenn man weiß, dass die Kovarianzmatrix singulär ist?

Ich dachte, darüber sprächen wir die ganze Zeit.



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Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-05


Also, ich weiß, dass der Zufallsvektor dann auf einem Teilraum lebt, wenn die Kovarianzmatrix singulär ist. Aber wahrscheinlich ist es nicht so einfach eine allgemeine Aussage darüber zu treffen, wie die einzelnen Zufallsvariablen des Zufallsvektors aussehen müssen, damit die Kovarianzmatrix keinen vollen Rang hat.



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zippy
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2020-07-05 22:57 - Pter87 in Beitrag No. 10 schreibt:
Aber wahrscheinlich ist es nicht so einfach eine allgemeine Aussage darüber zu treffen, wie die einzelnen Zufallsvariablen des Zufallsvektors aussehen müssen, damit die Kovarianzmatrix keinen vollen Rang hat.

Doch, diese Aussage ist gerade, dass $X$ die Form $X=AZ$ (mit den oben erwähneten Eigenschaften) haben muss.



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Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-05


Wenn man doch in einem Zufallsvektor zumindest zwei gleiche Zufallsvariablen hat, dann kriegen wir doch immer so einen Träger H als Teilraum mit Dimension von Rang($\Sigma$).

Bedeutet es, dass wenn die Matrix singulär ist, in unserem Zufallsvektor 2 ZV gleich gewesen sein müssen ?



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zippy
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2020-07-05 23:30 - Pter87 in Beitrag No. 12 schreibt:
Bedeutet es, dass wenn die Matrix singulär ist, in unserem Zufallsvektor 2 ZV gleich gewesen sein müssen ?

Nein. In meinem Beispiel war das so, weil $A$ die Form $A=
\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ hatte. Schon bei $A=
\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}$ wäre das nicht mehr der Fall.

Worauf es ankommt, ist, dass $X$ fast sicher in einen echten Teilraum $H$ liegt. Oder anders formuliert: Dass die Komponenten von $X$ fast sicher linear abhängig sind.



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Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-07 18:42


Ich glaube das war es dann fürs Erste mit meinen Fragen.
Vielen Dank für deine Hilfe



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