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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Minimum mit zwei Nebenbedingungen finden
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Universität/Hochschule Minimum mit zwei Nebenbedingungen finden
Pizzaecke
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.01.2020
Mitteilungen: 6
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-01


Hallo Leute!

Wir haben gelernt, dass man Minima mit Nebenbedingung findet indem g(x)=0 gelten muss und man dann über ein LGS die Lagrange-Multiplikatoren bestimmt. Dabei repräsentiert g(x)=0 die Erfüllung der Nebenbedingung.
Jetzt haben wir den Zylinder Z im R^3 mit
x^2 + y^2 = 1
Und die Ebene P mit
x + y - z = 1
Und sollen davon den minimalen quadrierten euklidischen Abstand zu (0,0,0) finden, welcher in der Schnittmenge von Z und P liegt.
Wie kann ich g() definieren sodass es beide Nebenbedingungen repräsentiert?

Ich habe das Gefühl, dass es nicht möglich ist, doch wie soll man es dann lösen?
Meine Idee:
x^2 + y^2 = 1
Also der quadr. eukl. Abstand:
1 + z^2. Für diese Funktion muss nurnoch reichen, dass (x,y,z) in P liegt. Letztendlich werde ich die Bedingung zu Z nicht los, weil z dann doch wieder von x und y abhängt, welche auch Bedingungen unterliegen.
Wie also lässt sich das lösen?



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4369
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo Pizzaecke,

der quadrierte euklidische Abstand ist immer noch die Funktion \(d=x^2+y^2+z^2\). Diese ist hier deine Zielfunktion (denn der Abstand soll minimiert werden).

Dazu hast du noch zwei Nebenbedingungen in Form der Zylinder- und der Ebenengleichung. Man braucht hier daher zwei Langrange-Multiplikatoren - für jede Nebenbedingung einen.

Im übrigen hatten wir exakt die gleiche Aufgabe vor kurzem schon einmal.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' von Diophant]
\(\endgroup\)


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