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Schule J Algebra - Pangeawettbewerb
MINT20Fan
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-05


Diese Aufgabe stammt vom Pangea Wettbewerb 2014 2 Runde :

1/ (1+a) + 1 / (1+b) = 5 / 12
Sowie
a • b + a + b = 1

Was ergibt a + b + 7 / 6 ?

Leider komme ich nie zu einem richtigen Ergebnis.
Daher hoffe ich , dass ich hier Hilfe erhalte.
Also bitte die Lösung mit Termumformungen reinschicken

Viele Grüße MINT20Fan



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-05


Hallo MINT20Fan,

Bruchrechnen ist hier angesagt: experimentiere einmal mit der ersten Gleichung, so dass du die zweite verwenden kannst.

2020-07-05 11:46 - MINT20Fan im Themenstart schreibt:
Also bitte die Lösung mit Termumformungen reinschicken

Nein. Du kannst hier Lösunsghinweise erhalten, aber fertige Lösungen darfst du nicht erwarten: das entspräche nicht dem Sinn dieses Forums.



Gruß, Diophant



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MINT20Fan
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-05


Hallo Diophant,,
Hier meine Termumformung , bis zu dem Punkt , an dem ich hängenbleibe :
1 / (1+a) + 1 / (1+b) = 5 / 12           /•12
12 / (1+a) + 12 / (1+b) = 5.             / • (a+1)(b+1)
12a+12+12b+12 = 5ab+5a+5b+5.  
12a+12b+24 = 5ab+5a+5b+5       / -5b-5-12a
7b+19 =  5ab-7a
a ( 5b -7) = 7b+19.                      / : (5b-7)
a= (7b+19) / ( 5b-7)

a•b+a+b = 1 wird zu

(7b+19)/(5b-7) • b + (7b+19)/(5b-7)+b=1
( 7b^2+19b ) / (5b-7) + b + ( 7b+19 ) / ( 5b-7 ) = 1.  / • (5b-7)
7b^2+19b+  5b^2- 7b    + 7b+19 = 5b - 7.              
12b^2. + 19b  + 19 = 5b-7                   /      -5b -19
12b^2 + 14b = -26  
2 (6b^2+7b) = -26.                              /  : 2
6b^2 + 7b = -13
Und hier komme ich nicht weiter...



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Ixx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-05


Moin,

beachte (1+a)(1+b)=1+a+b+ab=1+(ab+a+b).



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-07-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2020-07-05 12:31 - MINT20Fan in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo Diophant,,
Hier meine Termumformung , bis zu dem Punkt , an dem ich hängenbleibe :
1 / (1+a) + 1 / (1+b) = 5 / 12           /•12
12 / (1+a) + 12 / (1+b) = 5.             / • (a+1)(b+1)
12a+12+12b+12 = 5ab+5a+5b+5.

Hier bitte einmal tief durchatmen. Oder alternativ: multipliziere einmal den Term \((a+1)(b+1)\) aus...

Alles weitere sollte sich damit beantworten lassen.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
\(\endgroup\)


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MINT20Fan
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-05


Wenn ich ausmutlipliziere, komme ich zum selben Ergebnis wie bereits bei meiner Termvereinfachung



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-07-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

an der Stelle, an der ich dir geraten habe einmal tief durchzuatmen. Fällt dir an dieser Stelle denn gar nichts auf? Dort kannst du die Identität \(ab+a+b=1\) verwenden.

Es zeigt sich einmal wieder schön, dass man Wettbewerbsaufgaben eben nicht mit sturem Anwenden gelernter Konzepte angehen sollte, sondern von vorn herein aus einem strategischen Blickwinkel. Eine elementare strategische Überlegung in der Mathematik ist die, ob man alles, was gegeben ist, verwendet hat und wenn ja: an der richtigen Stelle?...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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MINT20Fan
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-05


Hallo Diophant und Ixx,
Vielen Dank für Eure Hilfe.
Nun ist alles klar.
Ich habe die Aufgabe leider die ganze Zeit viel zu stumpf betrachtet und war dabei auf meine normalen Vorgehensweisen aus der Schule ausgerichtet ohne näheres zu beachten.
Dabei habe ich zusätzlich das Wichtigste vergessen : alles, was gegeben ist, zu beachten
Viele Grüße.
MINT20Fan



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-07-05


Hallo,

2020-07-05 13:08 - MINT20Fan in Beitrag No. 7 schreibt:
Hallo Diophant und Ixx,
Vielen Dank für Eure Hilfe.
Nun ist alles klar.

Ein Ergebnis von deiner Seite aus wäre dann noch wünschenswert.


Gruß, Diophant



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MINT20Fan
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-05


nach dem Ersetzen kommt man zu :
a + b = - 7/ 6

Es folgt .

a + b + 7/6 =
-7/6+7/6 = 0



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-07-05


Hallo,

2020-07-05 13:12 - MINT20Fan in Beitrag No. 9 schreibt:
nach dem Ersetzen kommt man zu :
a + b = - 7/ 6

Es folgt .

a + b + 7/6 =
-7/6+7/6 = 0

Ja, das ist richtig. Gut gemacht. 👍


Gruß, Diophant



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